8. Adjunta - Álgebra Linear

Quando estamos trabalhando com dois espaços vetoriais $V$ e $W$ munidos de produto interno, podemos associar a cada transformação linear de $V$ para $W$ uma transformação linear de $W$ para $V$ que possui algumas propriedades interessantes. Essa transformação é chamada de adjunta de $T$ e serve de alicerce para um dos principais resultados da Álgebra Linear, o Teorema Espectral.

Conceitos iniciais - Funcionais lineares¶

Antes de falarmos sobre a adjunta propriamente, precisamos de um teorema central acerca de um tipo especial de transformações lineares, os funcionais lineares.

Em relação ao funcional ${} G \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}) {}$ do exemplo anterior, se considerarmos $y=(a_{1},\dots,a_{n}) \in \mathbb{R}^{n}$ , então dado $x \in \mathbb{R}^{n}$ temos

Gx=\langle x , y \rangle,

(3)

onde $\langle \cdot , \cdot \rangle$ denota o produto interno euclidiano. De maneira geral, em um espaço $V$ munido de produto interno $\langle \cdot , \cdot \rangle$ (um produto interno qualquer, não necessariamente o euclidiano), ao fixarmos $u \in V$ , a função $F:V\to \mathbb{R}$ dada por

Fv=\langle v , u \rangle

(4)

define um funcional linear em $V$ (a linearidade de $F$ é evidente pela linearidade do próprio produto interno). O teorema a seguir mostra que, na verdade, vale a recíproca: todo funcional linear pode ser representado dessa forma, através do produto interno.

Demonstração 8.3

Começamos provando a existência de $u$ . Seja $v \in V$ e $(e_{1},\dots,e_{n})$ uma base ortonormal de $V$ , então

\begin{align} Fv & =F(\langle v , e_{1} \rangle e_{1}+\dots+\langle v , e_{n} \rangle e_{n}) \\ & = \langle v , e_{1} \rangle Fe_{1}+\dots+\langle v , e_{1} \rangle Fe_{n} \quad \text{(lembre-se que }Fe_{i}\text{ é um escalar)} \\ & =\langle v , (Fe_{1})e_{1} \rangle+\dots+\langle v , (Fe_{n})e_{n} \rangle \\ & =\langle v , (Fe_{1})e_{1}+\dots+(Fe_{n})e_{n} \rangle. \end{align}

(6)

Portanto, definindo $u:= (Fe_{1})e_{1}+\dots+(Fe_{n})e_{n}$ , temos $Fv=\langle v , u \rangle,\,\forall v \in V$ .

Agora, provamos a unicidade de $u$ . Suponha que existam $u$ e $u'$ em $V$ tais que, para todo $v \in V$ , tenha-se

Fv=\langle v , u \rangle = \langle v , u' \rangle.

(7)

Logo,

0=\langle v , u \rangle - \langle v , u' \rangle = \langle v , u - u' \rangle

(8)

para todo $v \in V$ . Em particular, se tomarmos $v = u-u'$ teríamos $\langle u-u' , u-u' \rangle=0$ , implicando que $u-u' = 0$ , pela propriedade 1 do produto interno. Ou seja, $u=u'$ , mostrando a unicidade de $u$ .

Definição de adjunta e exemplo¶

A definição de adjunta tem uma construção um pouco mais sofisticada, onde utilizamos o Teorema 8.3 (Teo. da representação de Riesz).

É importante perceber bem como é feita essa definição. Primeiramente, note que consideramos uma transformação $T \in \mathcal{L}(V,W)$ qualquer, é a partir dela que construímos a função $T^{*}$ associada. Então, fixando um vetor $w \in W$ , através da construção feita associamos a ele um único vetor $T^{*}w$ , com a propriedade de que $\langle Tv , w \rangle=\langle v , T^{*}w \rangle$ para todo $v \in V$ (note que na esquerda temos o produto interno de $W$ , enquanto na direita temos o produto interno em $V$ ). Como o vetor $w$ considerado é arbitrário, o que fazemos é associar a cada $w \in W$ , um único vetor $T^{*}w$ em $V$ . Assim, temos uma função $T^{*}$ de $W$ para $V$ . Em particular, essa função possui uma propriedade muito importante:

\langle Tv , w \rangle = \langle v , T^{*}w \rangle,

(10)

para quaisquer $v \in V$ e $w \in W$ .

Na prática, podemos pensar na adjunta como uma “inversa em relação ao produto interno”. Mas, claro, não é exatamente isso em um sentido técnico.

Antes de prosseguirmos, devemos constatar um fato essencial sobre essa nova função que definimos.

Demonstração 8.5

Consideremos $w,w' \in W$ e $a \in \mathbb{R}$ . Veja que para todo $v \in V$ temos

\begin{align} \langle Tv , w+w' \rangle & =\langle Tv , w \rangle+\langle Tv , w' \rangle \\ & =\langle v , T^{*}w \rangle+\langle v , T^{*}w' \rangle \\ & = \langle v , T^{*}w+T^{*}w' \rangle. \end{align}

(11)

Logo, o vetor dado por $T^{*}w + T^{*}w'$ satisfaz $\langle Tv , w+w' \rangle=\langle v , T^{*}w+T^{*}w' \rangle$ para todo $v \in V$ . Mas, pelo Teorema 8.3 (Teo. da representação de Riesz) e pela definição da adjunta, esse vetor é único e corresponde exatamente a $T^{*}(w+w')$ . Isto é, $T^{*}(w+w')=T^{*}w+T^{*}w'$ , mostrando a aditividade da adjunta.

Além disso, veja que

\begin{align} \langle Tv , aw \rangle & =a\langle Tv , w \rangle \\ & =a\langle v , T^{*}w \rangle \\ & = \langle v , aT^{*}w \rangle. \end{align}

(12)

Pelo mesmo raciocínio empregado no caso da aditividade, temos $T^{*}(aw)=aT^{*}w$ , mostrando a homogeneidade de $T^{*}$ e, portanto, sua linearidade.

Vejamos como determinar algebricamente a adjunta de uma transformação linear.

Exemplo 8.6

Vamos determinar a adjunta da transformação linear do $\mathbb{R}^{2}$ para o $\mathbb{R}^{3}$ (produtos internos canônicos) dada por

T(x,y) = (x+y, 2x+2y,3x+3y).

(13)

Antes de partirmos diretamente para o objetivo, é importante ter uma noção geral do que está sendo feito. Quando queremos determinar uma transformação linear, no fim o que queremos é saber para quais vetores do contradomínio ela mapeia cada vetor de uma base fixada, sendo usual considerar a base canônica.

Isso também vale para a adjunta, mas nesse caso costuma ser mais prático considerar um vetor genérico do domínio e, através da igualdade (10), determinar a sua imagem, assim determinando inteiramente a transformação. Dessa maneira, condensamos as informações que buscamos sobre as imagens de cada vetor da base canônica em uma coisa só. Mas, é claro, a abordagem de determinar a imagem de cada vetor da base separadamente também funciona.

Voltando ao exemplo, uma vez que $T\in \mathcal{L}(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R}^{3})$ então $T^{*} \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^{3},\mathbb{R}^{2})$ . Logo, consideramos ${} (a,b,c) {}$ como um vetor qualquer do $\mathbb{R}^{3}$ e devemos determinar $T^{*}(a,b,c)$ utilizando a igualdade entre os produtos internos (perceba que usaremos a informação sobre $T(x,y)$ fornecida). Em particular, consideramos $T^{*}(a,b,c)=(\alpha, \beta)$ e devemos determinar cada coordenada em função de $a,b$ e $c$ .

Note que podemos fixar $(1,0) \in \mathbb{R}^{2}$ , uma vez que a igualdade (10) vale para quaisquer vetores de $\mathbb{R}^{2}$ e $\mathbb{R}^{3}$ . Assim, temos

\begin{align} \langle T(1,0) , (a,b,c) \rangle & = \langle (1,2,3) , (a,b,c) \rangle\\ & =a+2b+3c \\ & =\langle (1,0) , T^{*}(a,b,c) \rangle \\ & =\langle (1,0) , (\alpha,\beta) \rangle \\ & =\alpha. \end{align}

(14)

Donde obtemos que $\alpha=a+2b+3c$ . Similarmente, considerando o vetor $(0,1) \in \mathbb{R}^{2}$ temos

\begin{align} \langle T(0,1) , (a,b,c) \rangle & = \langle (1,2,3) , (a,b,c) \rangle \\ & = a+2b+3c \\ & =\langle (0,1) , T^{*}(a,b,c) \rangle \\ & =\langle (0,1) , (\alpha,\beta) \rangle \\ & =\beta. \end{align}

(15)

Obtendo que $\beta$ também vale $a+2b+3c$ . Portanto, determinamos que $T^{*}(a,b,c)=(a+2b+3c,a+2b+3c)$ .

Mas, ao considerar essa abordagem, é natural que fique a questão: Tal função $T^{*}$ encontrada dessa forma é de fato a adjunta de $T$ , uma vez que consideramos somente dois vetores do domínio de $T$ (nesse caso, $(1,0)$ e $(0,1)$ ) e a Definição 8.4 (Adjunta) diz respeito a todos os vetores do domínio de $T$ ? A resposta é afirmativa e a justificativa provém do fato que $(1,0)$ e $(0,1)$ formam uma base do domínio de $T$ , que é $\mathbb{R}^{2}$ . Se considerássemos um vetor qualquer $(x,y) \in \mathbb{R}^{2}$ no intuito de seguir rigorosamente a Definição 8.4 (Adjunta), poderíamos reescrevê-lo como uma combinação linear de $(1,0)$ e $(0,1)$ . Utilizando as propriedades de linearidade de $T$ e do produto interno, no fim obteríamos os mesmos resultados encontrados quando consideramos diretamente os vetores $(1,0)$ e $(0,1)$ .

Portanto, essa abordagem de fixar vetores do domínio da transformação considerada para determinar sua adjunta funciona no caso geral, contanto que os vetores fixados formem uma base do domínio. Em particular, costuma ser mais prático fixar os vetores da base canônica, uma vez que os zeros e uns facilitam os cálculos.

Propriedades da adjunta¶

Utilizando a Definição 8.4 (Adjunta) e a linearidade do produto interno, de maneira similar ao que é feito em Demonstração 8.5, é possível verificar as seguintes propriedades da adjunta:

Além dessas propriedades fundamentais, temos relações importantes entre os núcleos e imagens de uma transformação e sua adjunta.

Demonstração 8.8

Provaremos 1. inicialmente. Seja $w \in W$ , então

\begin{align} w \in N(T^{*}) & \iff T^{*}w=0 \\ & \iff \langle v , T^{*}w \rangle= 0,\;\forall v \in V \\ & \iff \langle Tv , w \rangle = 0, \; \forall v \in V \\ & \iff w \in \mathrm{Im}(T)^{\perp}. \end{align}

(16)

A partir de 1. podemos obter as outras: ao tomarmos o complemento ortogonal em ambos os lados da igualdade obtemos 4. Então, substituindo $T$ por $T^{*}$ em 1. e 4. obtemos 3. e 2., respectivamente.

A adjunta matricialmente (matriz transposta)¶

Naturalmente, pela equivalência existente entre transformações lineares e matrizes, a adjunta também possui uma interpretação matricial. O principal resultado nos diz que, quando lidando com bases ortonormais, a matriz de $T^{*}$ corresponde exatamente a transposta da matriz de $T$ .

Demonstração 8.9

Veja que a $k$ -ésima coluna de $[T]^{\alpha}_{\beta}$ corresponde aos escalares de $Te_{k}$ escrito como combinação linear da base $\beta$ (caso necessário, relembre o tópico de transformações lineares e matrizes). Pelo fato de $\beta$ ser ortonormal, então tal combinação linear é dada por

Te_{k}=\langle Te_{k} , f_{1} \rangle f_{1}+\dots+\langle Te_{k} , f_{m} \rangle f_{m}.

(18)

Logo, a entrada na linha $j$ e coluna $k$ de $[T]^{\alpha}_{\beta}$ é igual a $\langle Te_{k} , f_{j} \rangle$ . Ao fazermos essa mesma análise, mas substituindo $T$ por $T^{*}$ e trocando os papéis de $\alpha$ e $\beta$ de acordo, podemos então afirmar que a entrada na linha $j$ e coluna $k$ de $[T^{*}]^{\beta}_{\alpha}$ é igual a $\langle T^{*}f_{k} , e_{j} \rangle$ . Mas, por outro lado,

\langle T^{*}f_{k} , e_{j} \rangle=\langle f_{k} , Te_{j} \rangle=\langle Te_{j} , f_{k} \rangle,

(19)

que corresponde exatamente a entrada da linha $k$ e coluna $j$ de $[T]^{\alpha}_{\beta}$ . No fim, o que isso nos diz é que cada entrada $a_{jk}$ de $[T^{*}]^{\beta}_{\alpha}$ é igual a entrada $a_{kj}$ de $[T]^{\alpha}_{\beta}$ , ou seja, $[T^{*}]^{\beta}_{\alpha}$ é igual a transposta de $[T]^{\alpha}_{\beta}$ .

Exemplo 8.11

Vamos resolver o exemplo Exemplo 8.6 agora utilizando Proposição 8.9. Relembramos que a transformação considerada é $T \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R}^{3})$ dada por

T(x,y)=(x+y,2x+2y,3x+3y).

(20)

Naturalmente, escolheremos as bases canônicas de $\mathbb{R}^{2}$ e $\mathbb{R}^{3}$ , que são ortonormais, e determinaremos a matriz $[T]$ . Então, determinamos sua transposta e obtemos a matriz $[T^{*}]$ , que ao multiplicarmos por ${} \begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} {}$ encontramos a forma algébrica de $T^{*}$ , uma vez que as bases são as canônicas.

As colunas de $[T]$ são dadas por $T(1,0)$ e $T(0,1)$ :

\begin{align} & T(1,0)=(1+0,2+0,3+0)=(1,2,3); \\ & T(0,1)=(0+1,0+2,0+3)=(1,2,3). \end{align}

(21)

Logo,

[T]=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}.

(22)

E, consequentemente:

[T^{*}]=[T]^{T}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}.

(23)

Fazendo o produto $\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix}$ encontramos

T^{*}(x,y,z)=(x+2y+3z,x+2y+3z),

(24)

conforme o que foi obtido no Exemplo 8.6 utilizando Definição 8.4 (Adjunta).

Footnotes¶

É comum denotar o conjunto de todos os funcionais lineares de um espaço $V$ como $V^{*}$ . Verifica-se que $V^{*}$ constitui um espaço vetorial, que é chamado de dual de $V$ .
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