9. Operadores Auto-Adjuntos

Vejamos a definição e alguns resultados sobre operadores auto-adjuntos, um caso particular de operador linear que é igual a sua adjunta. Os operadores auto-adjuntos são o objeto central do Teorema Espectral, um dos principais resultados da Álgebra Linear e tópico subsequente.

Exemplo 9.2 Reflexão em torno do eixo

x

Geometricamente, o operador $T\in \mathcal{L}(\mathbb{R}^{2})$ definido por $T(x,y)=(x,-y)$ descreve uma reflexão em torno do eixo $x$ . Verifiquemos que ele é auto-adjunto.

Sejam $u=(u_{1},u_{2})$ e $v=(v_{1},v_{2})$ pertencentes ao $\mathbb{R}^{2}$ , temos que

\begin{align} \langle Tu , v \rangle & =\langle (u_{1},-u_{2}) ,(v_{1},v_{2}) \rangle \\ & =u_{1}v_{1}-u_{2}v_{2} \\ & =\langle u ,T^{*}v \rangle. \end{align}

(2)

Por outro lado, $\langle u , Tv \rangle=\langle (u_{1},u_{2}) , (v_{1},-v_{2}) \rangle=u_{1}v_{1}-u_{2}v_{2}=\langle Tu , v \rangle$ . Logo, $T=T^{*}$ , auto-adjunto.

A auto-adjunção significa que, de uma certa forma, o operador preserva o produto interno, e reflexões são bons exemplos disso.

Demonstração 9.3

Utilizando as propriedades da adjunta:

\begin{align} &(A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}=A+B \\ &(\alpha A)^{*}= \alpha A^{*}=\alpha A \end{align}

(3)

Demonstração 9.4

Dada a propriedade que $(T^{-1})^{*}=(T^{*})^{-1}$ , substituímos $T^{*}$ por $T$ (pois $T=T^{*}$ ), obtendo que

(T^{-1})^{*}=T^{-1}.

(4)

Logo, $T^{-1}$ é auto-adjunto.

Demonstração 9.5

Sejam $v,w\in V$ autovetores associados a autovalores distintos $\lambda$ e $\mu$ , respectivamente. Ou seja, $Tv=\lambda v$ e $Tw=\mu w$ . Dado que $T$ é auto-adjunto, temos que

\langle Tv , w \rangle=\langle v , Tw \rangle.

(5)

Logo,

\begin{align} \langle \lambda v , w \rangle &= \langle v , \mu w \rangle \\ \lambda \langle v , w \rangle &= \mu \langle v , w \rangle \\ (\lambda-\mu)\langle v , w \rangle &= 0 \end{align}

(6)

Como $\lambda \neq \mu$ , então necessariamente $\langle v , w \rangle= 0$ . Ou seja, $v$ e $w$ são ortogonais.

Matrizes de operadores auto-adjuntos¶

Como é de se esperar, operadores auto-adjuntos possuem uma equivalência matricial. Tal equivalência relaciona-se com matrizes simétricas (ver Definição 4.9 (Matriz simétrica)).

Demonstração 9.6

Seja $\beta$ uma base ortonormal de $V$ .

$(\implies):$ Se $T$ é auto-adjunto, então

[T]_{\beta}=[T^{*}]_{\beta}=([T]_{\beta})^{T}.

(7)

Portanto, $[T]_{\beta}$ é simétrica.

$(\impliedby):$ Se $[T]_{\beta}=([T]_{\beta})^{T}$ , suponha que $\beta = (v_{1},\dots,v_{n})$ . Logo,

\langle Tv_{i} , v_{j} \rangle=\langle Tv_{j} , v_{i} \rangle,

(8)

para todo $i,j$ , onde estas são as entradas de $[T]_\beta$ e $([T]_{\beta})^{T}$ , respectivamente.

Sejam $u,v\in V$ , pela definição de base temos que $u=\sum_{i}x_{i}v_{i}$ e $v=\sum_{j}y_{j}v_{j}$ . Logo,

\begin{align} \langle u , Tv \rangle &= \left\langle \sum_{i}x_{i}v_{i} , T\left( \sum_{j}y_{j}v_{j} \right) \right\rangle \\ &= \sum_{i}x_{i}\sum_{j}y_{j}\langle v_{i} , Tv_{j} \rangle \\ &= \sum_{i}x_{i}\sum_{j}y_{j}\langle Tv_{j} , v_{i} \rangle \\ &= \sum_{i}x_{i}\sum_{j}y_{j}\langle Tv_{i} , v_{j} \rangle, \end{align}

(9)

onde na última igualdade usamos (8).

Portanto, temos que

\langle u , Tv \rangle=\left\langle \sum_{i}x_{i}Tv_{i} , \sum_{j}y_{j}v_{j} \right\rangle=\left\langle T\left( \sum_{i}x_{i}v_{i} \right) , \sum_{j}y_{j}v_{j} \right\rangle=\langle Tu , v \rangle,

(10)

concluindo que $T=T^{*}$ .

Exemplo 9.7

Voltando ao operador do Exemplo 9.2 Reflexão em torno do eixo $x$ , vamos verificar sua auto-adjunção utilizando o Teorema 9.6 (Caracterização de operadores auto-adjuntos).

Primeiro, escrevemos a matriz associada a ele na base canônica, a base ortonormal mais fácil de lidarmos:

\begin{align} T(1,0)&=(1,0) \\ T(0,1)&=(0,-1) \end{align} \implies [T]_{c}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}

(11)

Como $([T]_{c})^{T}=[T]_{c}$ , o Teorema 9.6 (Caracterização de operadores auto-adjuntos) nos garante que $T$ é auto-adjunto. Já havíamos verificado tal fato no Exemplo 9.2 Reflexão em torno do eixo $x$ , mas note como o teorema nos proporciona um método mais direto de verificação (não precisamos nos preocupar em definir vetores arbitrários $u$ e $v$ nem verificar a forma do produto interno entre eles).

Positividade de operadores auto-adjuntos¶

Existem certos tipos de operadores auto-adjuntos que merecem uma atenção especial, pois a partir de suas propriedades obtemos alguns resultados que têm destaque no campo mais prático e aplicado da Álgebra Linear, como a resolução de sistemas lineares e métodos de aproximação numérica.

Exemplo 9.9 (Operador e matriz)

Considere o operador identidade em $\mathbb{R}^{2}$ . Para $(x,y)\in \mathbb{R}^{2}$ , com $(x,y)\neq (0,0)$ , temos

\begin{align} \langle I(x,y) , (x,y) \rangle & =\langle (x,y) , (x,y) \rangle \\ & =x^{2}+y^{2}>0 \end{align}

(13)

Logo, $I$ é um operador definido positivo.

Note que temos a equivalência matricial para a Definição 9.8 (Operador definido positivo), de forma que também podemos nos referir a uma matriz definida positiva. O produto interno canônico entre dois vetores $\begin{bmatrix}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{bmatrix}$ e $\begin{bmatrix}y_{1} \\ \vdots \\ y_{n}\end{bmatrix}$ é computado simplesmente fazendo

\begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}^{T}\cdot \begin{bmatrix} y_{1} \\ \vdots \\ y_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{1} & \dots & x_{n} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} y_{1} \\ \vdots \\ y_{n} \end{bmatrix}.

(14)

No caso do nosso exemplo, considerando a identidade em $\mathbb{R}^{2}$ , teríamos

\begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=x^{2}+y^{2},

(15)

onde $x^{2}+y^{2} > 0$ caso $\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix}$ . Portanto, a matriz $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ é definida positiva.

Estendendo para considerar $v = 0$ , temos a definição a seguir:

No caso do exemplo anterior, é natural que ao incluirmos a possibilidade que $v=0$ verificamos que o operador identidade é não negativo, uma vez que ele já é positivo definido. De fato, todo operador positivo definido é não negativo, mas a recíproca não vale (podemos ter $\langle Tv , v \rangle=0$ mas $v\neq 0$ ).

Podemos também estender essas definições de maneira análoga para operadores negativos ( $T<0$ ) e não positivos ( $T\leq0$ ), mas existem operadores que não se enquadram em nenhum destes:

Exemplo 9.11 (Operador indefinido)

Considere a base ortonormal $\beta=( (1,0),(0,1) )$ e $T(x,y)=(y,x),\forall(x,y)\in \mathbb{R}²$ . Temos que:

[T]_{\beta}= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

(17)

Observe que $[T]_{\beta}$ é simétrica, então o Teorema 9.6 (Caracterização de operadores auto-adjuntos) garante que $T$ é auto-adjunto. Além disso,

\langle T(x,y) , (x,y) \rangle=\langle (y,x) , (x,y) \rangle=yx+xy=2xy,\forall(x,y)\in \mathbb{R}²

(18)

Note que, a depender dos valores de $x$ e $y$ , $2xy$ pode ser positivo, negativo ou nulo. Portanto, $T$ é um operador indefinido.

O teorema a seguir serve como base para uma extensão do Teorema Espectral para transformações lineares quaisquer.

Demonstração 9.12

Primeiramente, note que $(T^{*}T)^*=T^{*}T$ e $(TT^{*})^{*}=TT^{*}$ . Logo, ambos são auto-adjuntos. Agora, considerando $v\in V$ , temos

\begin{align} \langle T^{*}Tv , v \rangle & =\langle Tv , Tv \rangle \\ & =\lVert Tv \rVert ^{2} \\ & \geq0 \end{align}

(19)

Similarmente para $w\in W$ , temos

\begin{align} \langle TT^{*}w ,w \rangle & = \langle T^{*}w , T^{*}w \rangle \\ & =\lVert T^{*}w \rVert ^{2} \\ & \geq 0 \end{align}

(20)

Concluindo que ambos são não negativos.

Para o posto, observe que

\begin{align} w\in N(T^{*}) & \iff T^{*}w=0 \\ & \iff \langle v , T^{*}w \rangle=0, \forall v\in V \\ & \iff \langle Tv , w \rangle=0,\forall v\in V \\ & \iff w\in \mathrm{Im}(T)^{\perp}. \end{align}

(21)

Ou seja, $N(T^{*})=\mathrm{Im}(T)^{\perp}$ .

Utilizando esse fato, mostremos que $N(T^{*}T)=N(T)$ . Seja $v\in N(T)$ , temos $T^{*}Tv=T^{*}0=0$ , logo, $N(T)\subset N(T^{*}T)$ . Reciprocamente,

\begin{align} v\in N(T^{*}T) & \implies T^{*}Tv=0 \\ & \implies Tv\in N(T^{*})=\mathrm{Im}(T)^{\perp} \\ & \implies Tv\in(\mathrm{Im}(T)\cap \mathrm{Im}(T)^{\perp})=\{ 0 \} \\ & \implies Tv=0 \end{align}

(22)

Concluindo que $N(T^{*}T)\subset N(T)$ e, portanto, $N(T^{*}T)=N(T)$ . Assim, utilizando o Teorema do Núcleo e Imagem,

\dim V = \dim N(T^{*}T)+\dim \mathrm{Im}(T^{*}T)

(23)

\begin{align} \implies\dim \mathrm{Im}(T^{*}T) & =\dim V-\dim N(T^{*}T) \\ & =\dim V - \dim N(T) \\ & =\dim \mathrm{Im}(T) \end{align}

(24)

Mostrando que o posto de $T^{*}T$ é o mesmo de $T$ . Analogamente, obtemos que o posto de $TT^{*}$ é igual ao posto de $T^{*}$ (que é o mesmo de $T$ ).

Observe que tais operadores são positivos definidos se, e somente se, $T$ é invertível.