7. Produto Interno, Norma e Ortogonalidade

Começaremos a trabalhar com duas ferramentas provavelmente já conhecidas: o produto interno e a norma. Em cursos de álgebra vetorial e geometria analítica temos contato com uma versão do produto interno e norma chamada de euclidiana ou canônica. No caso do espaço $\mathbb{R}^{2}$ , o produto interno euclidiano entre os vetores $x=(x_{1},x_{2})$ e $y=(y_{1},y_{2})$ é dado por

\langle x , y \rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2},

(1)

enquanto que a norma euclidiana é dada por

\lVert x \rVert =\sqrt{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} }.

(2)

Eles nos dão em $\mathbb{R}^{2}$ e $\mathbb{R}^{3}$ uma importante ferramenta de análise geométrica, que permite relacionar ângulos e distâncias entre vetores.

A ideia agora é generalizarmos os conceitos de produto interno e norma, considerando um espaço vetorial qualquer. Possuindo espaços vetoriais munidos de produto interno, poderemos definir uma importante transformação linear, chamada de adjunta.

Produto interno¶

O produto interno, em um sentido geral, é definido como uma função entre vetores de um espaço que obedece algumas propriedades.

Definição 7.1 (Produto interno)

Seja $V$ um espaço vetorial. Um produto interno em $V$ é uma função $\langle \cdot , \cdot \rangle:V\times V\to \mathbb{R}$ que leva cada par de vetores $(u,v)$ de $V$ em um número $\langle u , v \rangle \in \mathbb{R}$ , satisfazendo as seguintes propriedades:

(Positivo-definido) $\langle v , v \rangle \geq 0$ , $\forall v\in V$ , valendo a igualdade se, e somente se, $v = 0$ ;
(Aditividade) $\langle u+w , v \rangle=\langle u , v \rangle+\langle w , v \rangle,\, \forall u,w,v \in V$ ;
(Homogeneidade) $\langle av , w \rangle=a\langle v , w \rangle,\, \forall a \in \mathbb{R}$ e $\forall v,w \in V$ ;
(Simétrico) $\forall u,v \in V$ tem-se $\langle u , v \rangle=\langle v , u \rangle$ .

Note que as condições de aditividade e homogeneidade juntas formam uma condição de linearidade na primeira entrada. Com a condição de simetria, temos na verdade a linearidade nas duas entradas. Por isso, um produto interno é dito bilinear.

Exemplo 7.2 (Produto interno euclidiano em

{} \mathbb{R}^{n} {}

)

Sejam $x=(x_{1},\dots,x_{n})$ e $y=(y_{1},\dots,y_{n})$ vetores de $\mathbb{R}^{n}$ , a função $\langle \cdot , \cdot \rangle: \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ dada por

\langle x , y \rangle=x_{1}y_{1}+\dots+x_{n}y_{n},

(3)

define um produto interno em $\mathbb{R}^{n}$ , chamado de produto interno euclidiano ou produto interno canônico.

A verificação das propriedades da Definição 7.1 (Produto interno) é razoavelmente direta.

É evidente que $\langle x , x \rangle=x_{1}^{2}+\dots+x_{n}^{2} \geq 0$ , para qualquer $x \in \mathbb{R}^{n}$ . Em particular, $x_{1}^{2}+\dots+x_{n}^{2}= 0 \iff x = 0$ ;
Sejam $x=(x_{1},\dots,x_{n}),y=(y_{1},\dots,y_{n})$ e $z=(z_{1},\dots,z_{n})$ vetores de $\mathbb{R}^{n}$ , então $\langle x+y , z \rangle=(x_{1}+y_{1})z_{1}+\dots+(x_{n}+y_{n})z_{n}=x_{1}z_{1}+\dots+x_{n}z_{n}+y_{1}z_{1}+\dots+y_{n}z_{n}=\langle x , z \rangle+\langle y , z \rangle$ ;
Seja $a \in \mathbb{R}$ , $\langle ax , y \rangle=ax_{1}y_{1}+\dots+ax_{n}y_{n}=a(x_{1}y_{1}+\dots+x_{n}y_{n})=a\langle x , y \rangle$ ;
$\langle x , y \rangle=x_{1}y_{1}+\dots+x_{n}y_{n}=y_{1}x_{1}+\dots+y_{n}x_{n}=\langle y , x \rangle$ .

De maneira análoga ao que foi feito no exemplo, verifica-se que

\langle x , y \rangle=a_{1}x_{1}y_{1}+\dots+a_{n}x_{n}y_{n},\quad a_{1},\dots,a_{n} \in \mathbb{R}

(4)

define um produto interno em $\mathbb{R}^{n}$ , sendo o produto interno euclidiano um caso particular deste, onde $a_{1}=\dots=a_{n}=1$ .

Norma¶

A partir de todo produto interno podemos definir uma norma. Normas funcionam como métricas nos espaços vetoriais, medindo o comprimento ou “intensidade” dos vetores, além das distâncias entre eles.

Assim como no caso do produto interno, a definição de norma pode ser generalizada de maneira que qualquer função que atenda certas propriedades caracterize uma norma, mesmo que esta não esteja diretamente relacionada com um produto interno^[1]. No caso das normas do tipo da Definição 7.3 (Norma induzida pelo produto interno), as quais voltaremos nossa atenção, essas propriedades são “herdadas” do produto interno. Uma dessas heranças imediatas é que $\lVert v \rVert=0$ se, e somente se, $v=0$ .

Adiante, consideraremos que $\lVert \cdot \rVert$ é uma norma induzida por produto interno em $V$ .

Demonstração 7.5

\begin{align} \lVert v \rVert =0 & \iff \sqrt{ \langle v , v \rangle } = 0 \\ & \iff \langle v , v \rangle= 0 \\ & \iff v = 0 \quad \text{(pois o produto interno é positivo-definido)}. \end{align}

(8)

Similarmente, também é imediato que $\lVert v \rVert\geq 0,\; \forall v \in V$ . Logo, a norma induzida por produto interno também é positiva-definida.

Demonstração 7.6

\begin{align} \lVert av \rVert^{2} & =\langle av , av \rangle \\ & =a^{2}\langle v , v \rangle \\ & = a^{2} \lVert v \rVert ^{2} \\ & = |a|^{2}\lVert v \rVert ^{2}. \end{align}

(10)

Tirando a raiz quadrada em ambos os lados, obtemos $\lVert av \rVert=|a|\lVert v \rVert$ .

Ortogonalidade¶

Note que 0 é ortogonal a todos os vetores.

Demonstração 7.8

\begin{align} \lVert u+v \rVert ^{2} & =\langle u+v , u+v \rangle \\ & =\lVert u \rVert ^{2}+\lVert v \rVert ^{2}+ 2\underbrace{ \langle u , v \rangle }_{ = \,0 } \\ & = \lVert u \rVert ^{2}+\lVert v \rVert ^{2}. \end{align}

(13)

A alcunha de “Teorema de Pitágoras” fica clara quando consideramos o caso particular em que $V=\mathbb{R}^{2}$ (neste caso, ortogonalidade entre dois vetores equivale ao ângulo entre eles ser de 90 graus), onde o vetor $u+v$ cumpre o papel de hipotenusa e os vetores $u$ e $v$ de catetos.

Note que o vetor projeção é um múltiplo escalar do vetor sobre o qual se projeta.

Demonstração 7.10

Veja que

\begin{align} \langle v , w \rangle & = \langle v , u-\text{Proj}_{v}u\rangle \\ & =\langle v , u \rangle+\langle v , -\text{Proj}_{v}u \rangle \\ & =\langle v , u \rangle-\frac{\langle v , u \rangle}{\langle v , v \rangle}\langle v , v \rangle \\ & =\langle v , u \rangle-\langle v , u \rangle \\ & = 0. \end{align}

(16)

Note que, consequentemente, para qualquer vetor $u$ , dado um vetor $v$ não nulo podemos escrever o vetor $u$ como a soma $w+\text{Proj}_{v}u$ , onde $w$ é um vetor ortogonal a $v$ . Essa decomposição de $u$ clarifica bem a seguinte interpretação geométrica que temos sobre esses vetores:

O vetor projeção possui muitos usos na Álgebra Linear, mas um dos principais é provar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, uma das mais importantes desigualdades da matemática.

Demonstração 7.11

Para o caso em que $v=0$ , é evidente que vale a igualdade:

\begin{align} |\langle u , v \rangle| & = |\langle u , 0 \rangle| \\ & =0 \\ & = \lVert u \rVert \cdot 0 \\ & =\lVert u \rVert \cdot \lVert v \rVert . \end{align}

(18)

Suponha que $v \neq 0$ . Logo, como discutido anteriormente, podemos decompor o vetor $u$ na soma $w+\text{Proj}_{v}u$ , onde $w$ é um vetor ortogonal a $v$ e, em particular, é ortogonal a ${} \text{Proj}_{v}u {}$ (que é um múltiplo escalar de $v$ ). Sendo assim, veja que $\lVert u \rVert ^{2} =\lVert w + \text{Proj}_{v}u \rVert ^{2}$ . Então, utilizando Propriedade 7.8 Teorema de Pitágoras temos

\begin{align} \lVert u \rVert ^{2} & = \lVert w + \text{Proj}_{v}u \rVert ^{2} \\ & =\lVert w \rVert ^{2}+\lVert \text{Proj}_{v}u \rVert ^{2} \\ & =\lVert w \rVert ^{2}+\left\lVert \frac{\langle u , v \rangle}{\langle v , v \rangle}v \right\rVert^{2} \\ & =\lVert w \rVert ^{2}+\frac{\langle u , v \rangle ^{2}}{\langle v , v \rangle ^{2}}\lVert v \rVert ^{2} \\ & =\lVert w \rVert ^{2}+\frac{\langle u , v \rangle^{2}}{\lVert v \rVert ^{4}} \lVert v \rVert ^{2} \\ & = \lVert w \rVert ^{2} + \frac{\langle u , v \rangle^{2}}{\lVert v \rVert ^{2}}. \end{align}

(19)

Com isso, note que $\lVert u \rVert^{2} \geq \frac{\langle u , v \rangle ^{2}}{\lVert v \rVert^{2}}$ (pois $\lVert w \rVert^{2} \geq 0$ ), de onde obtemos $\langle u , v \rangle^{2} \leq \lVert u \rVert^{2}\cdot \lVert v \rVert^{2}$ . Extraindo a raiz quadrada em ambos os lados obtemos a desigualdade de Cauchy-Schwarz (lembre-se que a norma de qualquer vetor é sempre não negativa, logo é igual ao seu módulo).

Observe que vale a desigualdade se, e somente se, $w= 0$ . Ou seja, quando $u=\text{Proj}_{v}u$ ( $u$ é um múltiplo escalar de $v$ ).

Como consequência de Teorema 7.11 (Cauchy-Schwarz), temos uma outra desigualdade muito utilizada.

Demonstração 7.12

Note que como temos números reais não negativos em ambos os lados da igualdade, é equivalente provarmos $\lVert u + v\rVert^{2} \leq (\lVert u \rVert+\lVert v \rVert)^{2}$ .

Veja que

\begin{align} (\lVert u \rVert +\lVert v \rVert )^{2} & = \lVert u \rVert ^{2}+2\lVert u \rVert \lVert v \rVert +\lVert v \rVert ^{2} \\ & \geq \lVert u \rVert ^{2}+2\langle u , v \rangle+\lVert v \rVert ^{2} \\ & =\langle u , u \rangle+2\langle u , v \rangle+\langle v , v \rangle \\ & =\langle u + v , u+v \rangle \\ & =\lVert u+v \rVert ^{2}. \end{align}

(21)

Onde a desigualdade é obtida utilizando Teorema 7.11 (Cauchy-Schwarz) em $\lVert u \rVert \lVert v \rVert$ (lembre-se que se um número real é maior ou igual ao módulo de outro, ele será maior ou igual ao próprio número sem módulo).

Bases ortonormais¶

Especificamente, uma lista $(v_{1},\dots v_{n})$ de vetores em $V$ é ortonormal quando $\langle v_{j} , v_{k} \rangle = 0$ para $j \neq k$ e $\langle v_{j} , v_{k} \rangle = 1$ para $j = k$ (note que isso implica que $\lVert v_{j} \rVert = 1$ para todo $v_{j}$ na lista).

Um exemplo imediato de vetores ortonormais é a base canônica de $\mathbb{R}^{n}$ , considerando o produto interno e a norma canônicos.

Demonstração 7.14

Separemos o vetor $a_{1}v_{1}+\dots+a_{n}v_{n}$ em dois vetores, $a_{1}v_{1}$ e $a_{2}v_{2}+\dots a_{n}v_{n}$ . Utilizando o fato que $(v_{1},\dots,v_{n})$ é ortonormal obtemos

\begin{align} \langle a_{1}v_{1} , a_{2}v_{2}+\dots+a_{n}v_{n} \rangle & =a_{1}a_{2}\langle v_{1} , v_{2} \rangle+\dots+a_{1}a_{n}\langle v_{1} , v_{n} \rangle \\ & =a_{1}a_{2}\cdot 0+\dots+a_{1}a_{n}\cdot 0 \\ & = 0. \end{align}

(23)

Logo, os vetores $a_{1}v_{1}$ e $a_{2}v_{2}+\dots+a_{n}v_{n}$ também são ortogonais. Em particular, podemos aplicar Propriedade 7.8 Teorema de Pitágoras para eles, obtendo que

\lVert a_{1}v_{1}+\dots+a_{n}v_{n} \rVert ^{2}=\lVert a_{1}v_{1} \rVert ^{2}+\lVert a_{2}v_{2}+\dots+a_{n}v_{n} \rVert ^{2}.

(24)

Agora, decompomos $a_{2}v_{2}+\dots+a_{n}v_{n}$ em $a_{2}v_{2}$ e $a_{3}v_{3}+\dots a_{n}v_{n}$ . Com uma análise análoga, temos que esses vetores também são ortogonais. Seguindo esse processo, com uma aplicação sucessiva de Propriedade 7.8 Teorema de Pitágoras, obtemos

\begin{align} \lVert a_{1}v_{1}+\dots a_{n}v_{n} \rVert ^{2} & =\lVert a_{1}v_{1} \rVert ^{2}+\dots+\lVert a_{n}v_{n} \rVert ^{2} \\ & =a_{1}^{2}\lVert v_{1} \rVert ^{2}+\dots a_{n}^{2}\lVert v_{n} \rVert ^{2} \\ & =a_{1}^{2}\cdot 1+\dots+a_{n}^{2}\cdot 1 \\ & =a_{1}^{2}+\dots+a_{n}^{2}, \end{align}

(25)

utilizando Propriedade 7.6 e o fato de que $\lVert v_{j} \rVert=1$ para todo $v_{j}$ em $(v_{1},\dots,v_{n})$ , uma vez que a lista é ortonormal.

Demonstração 7.15

Sejam $a_{1},\dots,a_{n} \in \mathbb{R}$ tais que

a_{1}v_{1}+\dots+a_{n}v_{n}=0.

(26)

Como $\lVert 0 \rVert=0$ , utilizando Proposição 7.14 obtemos que

a_{1}^{2}+\dots+a_{n}^{2}=0.

(27)

Uma vez que cada parcela é não negativa, necessariamente devemos ter $a_{1}=\dots=a_{n}=0$ , mostrando que $(v_{1},\dots,v_{n})$ é linearmente independente.

Como já mencionado, a base canônica de $\mathbb{R}^{n}$ é uma lista ortonormal, portanto é uma base ortonormal.

Demonstração 7.17

Uma vez que $(v_{1},\dots,v_{n})$ forma uma base de $V$ , para todo $v \in V$ existem escalares únicos $a_{1},\dots,a_{n}$ tais que

v=a_{1}v_{1}+\dots+a_{n}v_{n}.

(29)

Sendo assim, para todo $v_{j}$ em $(v_{1},\dots,v_{n})$ tem-se

\begin{align} \langle v , v_{j} \rangle & =\langle a_{1}v_{1}+\dots+a_{n}v_{n} , v_{j} \rangle \\ & =a_{1}\langle v_{1} , v_{j} \rangle+\dots+a_{j}\langle v_{j} , v_{j} \rangle+\dots+a_{n}\langle v_{n} , v_{j} \rangle \\ & =a_{j}\quad \text{(pois }(v_{1},\dots,v_{n})\text{ é ortonormal)}. \end{align}

(30)

Portanto, vale a igualdade (28).

Processo de Gram-Schmidt¶

O importante resultado a seguir mostra que dada qualquer lista de vetores linearmente independentes é possível encontrar uma lista ortonormal que gera o mesmo subespaço que tal lista dada.

A demonstração desse teorema é feita fornecendo um procedimento para encontrar tal lista ortonormal, o qual é denominado Processo de Gram-Schmidt ou Algoritmo de Gram-Schmidt.

Demonstração 7.18 (Processo de Gram-Schmidt)

Dada a lista linearmente independente $(v_{1},\dots,v_{n})$ , começamos fazendo $u_{1}=\frac{v_{1}}{\lVert v_{1} \rVert}$ , um vetor de norma unitária que satisfaz Teorema 7.18 (Gram-Schmidt) para $j=1$ . O processo de escolha de $u_{2},\dots,u_{n}$ é feito indutivamente, da seguinte forma:

Suponha que $j>1$ e tem-se uma lista ortonormal $(u_{1},\dots,u_{j-1})$ que satisfaz Teorema 7.18 (Gram-Schmidt). Faça

u_{j}=\frac{v_{j}-\langle v_{j} , u_{1} \rangle u_{1} - \dots - \langle v_{j} , u_{j-1} \rangle u_{j-1}}{\lVert v_{j}-\langle v_{j} , u_{1} \rangle u_{1} - \dots - \langle v_{j} , u_{j-1} \rangle u_{j-1} \rVert }.

(32)

Como $(v_{1},\dots,v_{n})$ é linearmente independente, $v_{j}$ não pertence ao espaço gerado por $(v_{1},\dots,v_{j-1})$ , implicando que $v_{j}$ não pertence ao espaço gerado por $(u_{1},\dots,u_{j-1})$ (uma vez que vale $\text{span}(v_{1},\dots,v_{j-1})=\text{span}(u_{1},\dots,u_{j-1})$ ). Isso nos garante que $v_{j} \neq\langle v_{j} , u_{1} \rangle u_{1} + \dots + \langle v_{j} , u_{j-1} \rangle u_{j-1}$ e, portanto, não estamos dividindo por zero na definição de $u_{j}$ , que é então um vetor de norma unitária. Agora, note que para $1 \leq k < j$ tem-se

\begin{align} \langle u_{j} , u_{k} \rangle & = \left\langle \frac{v_{j}-\langle v_{j} , u_{1} \rangle u_{1} - \dots - \langle v_{j} , u_{j-1} \rangle u_{j-1}}{\lVert v_{j}-\langle v_{j} , u_{1} \rangle u_{1} - \dots - \langle v_{j} , u_{j-1} \rangle u_{j-1} \rVert } , u_{k} \right\rangle \\ & =\frac{\langle v_{j} , u_{k} \rangle - \langle v_{j} , u_{k} \rangle}{\lVert v_{j}-\langle v_{j} , u_{1} \rangle u_{1} - \dots - \langle v_{j} , u_{j-1} \rangle u_{j-1} \rVert } \\ & = 0. \end{align}

(33)

Provando que $(u_{1},\dots,u_{j})$ é ortonormal. Observe que, da definição de $u_{j}$ , temos que $v_{j} \in \text{span}(u_{1},\dots,u_{j})$ . Por outro lado, temos também que $\text{span}(v_{1},\dots,v_{j-1})=\text{span}(u_{1},\dots,u_{j-1})$ , logo

\text{span}(v_{1},\dots,v_{j}) \subseteq \text{span}(u_{1},\dots,u_{j}).

(34)

No entanto, uma vez que tanto $(v_{1},\dots,v_{j})$ e $(u_{1},\dots,u_{j})$ são linearmente independentes, ambos os subespaços acima possuem dimensão igual a $j$ , concluindo que devem ser iguais (pois um está contido no outro e possuem mesma dimensão). Dessa forma, construímos uma lista ortonormal tal que vale Teorema 7.18 (Gram-Schmidt).

Demonstração 7.19

Dada uma base desse espaço, que é uma lista linearmente independente, pelo Teorema 7.18 (Gram-Schmidt) existe uma lista ortonormal que também gera esse espaço. Além disso, essa lista é linearmente independente (pelo Corolário 7.15). Logo, é uma base ortonormal desse espaço.

Demonstração 7.20

Seja $(u_{1},\dots,u_{m})$ uma lista ortonormal de $V$ , pelo Teorema 2.22 (Vetores LI podem ser estendidos em uma base) ela pode ser estendida em uma base $(u_{1},\dots,u_{m},v_{1},\dots,v_{n})$ de $V$ . Aplicando o processo de Gram-Schmidt (descrito em Demonstração 7.18 (Processo de Gram-Schmidt)) nessa base, é produzida uma base ortonormal de $V$ . Mas, note que pela maneira como é realizado o processo e considerando que $(u_{1},\dots,u_{m})$ já é ortonormal, tal base ortonormal produzida será da forma $(u_{1},\dots,u_{m},w_{1},\dots,w_{m})$ , isto é, os vetores $u_{1},\dots,u_{m}$ são preservados pelo processo. Portanto, no fim o que foi feito foi estender a lista ortonormal em uma base ortonormal de $V$ .

Complemento ortogonal¶

É fácil verificar que $U^{\perp}$ é um subespaço de $V$ . Além disso, tem-se $V^{\perp}=\{ 0 \}$ e $\{ 0 \}^{\perp}=V$ .

O complemento ortogonal de um subespaço nos permite escrever o espaço o qual ele faz parte como uma soma direta envolvendo esse subespaço:

Demonstração 7.22

Devemos mostrar que $V=U+U^{\perp}$ e $U\cap U^{\perp}=\{ 0 \}$ . Para o primeiro, seja $v \in V$ , considere $(u_{1},\dots,u_{n})$ uma base ortonormal de $U$ . Note que

\begin{align} v & =v+0 \\ & =v+(\langle v , u_{1} \rangle u_{1}+\dots+\langle v , u_{n} \rangle u_{n}-\langle v , u_{1} \rangle u_{1}-\dots-\langle v , u_{n} \rangle u_{n}) \\ & = \underbrace{ \langle v , u_{1} \rangle u_{1}+\dots+\langle v , u_{n} \rangle u_{n} }_{ u }+\underbrace{ v-\langle v , u_{1} \rangle u_{1}-\dots-\langle v , u_{n} \rangle u_{n} }_{ w }. \end{align}

(37)

É fácil ver que $u \in U$ (pois é uma combinação linear de uma base de $U$ ). Além disso, observe que para cada $u_{j}$ em $(u_{1},\dots,u_{n})$ , que é ortonormal, tem-se

\begin{align} \langle w , e_{j} \rangle & = \langle v-\langle v , u_{1} \rangle u_{1}-\dots-\langle v , u_{n} \rangle u_{n} , e_{j} \rangle \\ & =\langle v , e_{j} \rangle -\langle v , e_{j} \rangle \\ & =0. \end{align}

(38)

O fato de $w$ ser ortogonal a todos os $e_{j}$ implica que $w$ é ortogonal a todos os vetores em $U$ (pois os $e_{j}$ formam uma base de $U$ ). Logo, $w \in U^{\perp}$ . Sendo assim, escrevemos $v=u+w$ , com $u \in U$ e $w \in U^{\perp}$ , para um vetor $v$ arbitrário de $V$ , o que mostra que $V=U+U^{\perp}$ .

Para completar a prova, suponha $u \in U\cap U^{\perp}$ . Note que, por um lado, $u \in U^{\perp}$ e, portanto, é ortogonal a todo vetor em $U$ . Mas, por outro lado, $u \in U$ , implicando que $u$ é ortogonal a si mesmo, ou seja

\langle u , u \rangle= 0.

(39)

Mas isso faz com que $u = 0$ (lembre-se do item 1 de Definição 7.1 (Produto interno)). Portanto, $U\cap U^{\perp}=\{ 0 \}$ , concluindo que $V=U\oplus U^{\perp}$ .

Demonstração 7.23

Começamos mostrando $U\subseteq (U^{\perp})^{\perp}$ . Seja $u \in U$ , pela definição de $U^{\perp}$ temos que $\langle u , v \rangle= 0$ para todo $v \in U^{\perp}$ . Logo, $u$ é ortogonal a todo vetor em $U^{\perp}$ , implicando que $u \in (U^{\perp})^{\perp}$ .

Para mostrar $(U^{\perp})^{\perp}\subseteq U$ , suponha $v \in (U^{\perp})^{\perp}$ . Como, em particular, $v \in V$ , Teorema 7.22 garante que podemos escrever $v=u+w$ , com $u \in U$ e $w \in U^{\perp}$ . Assim, temos $v-u=w \in U^{\perp}$ . Mas, note que temos $v \in (U^{\perp})^{\perp}$ e $u \in (U^{\perp})^{\perp}$ (pela inclusão $U\subseteq (U^{\perp})^{\perp}$ provada anteriormente), logo, $v-u \in U^{\perp}\cap(U^{\perp})^{\perp}$ . Ou seja, isso nos diz que $v-u$ é ortogonal a si mesmo (pelo mesmo raciocínio utilizado na demonstração de Teorema 7.22), implicando que $v-u=0$ . Sendo assim, $v=u \in U$ , mostrando que $(U^{\perp})^{\perp}\subseteq U$ e, consequentemente, a igualdade $U = (U^{\perp})^{\perp}$ .

Footnotes¶

Os principais exemplos de normas não induzidas por produto interno em ${} \mathbb{R}^{n} {}$ são a norma do infinito (ou norma do máximo), usualmente denotada por ${} \lVert \cdot \rVert_{\infty} {}$ e dada pela maior coordenada em módulo do vetor, e a norma da soma (ou norma 1), usualmente denotada por ${} \lVert \cdot \rVert_{S} {}$ e dada pela soma dos módulos das coordenadas.
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