6. Autovetores e Autovalores

Os conceitos de autovalores e autovetores são um dos mais centrais na Álgebra Linear, possuindo inúmeras consequências e aplicações. Aqui, voltaremos nossa atenção para o estudo dos operadores lineares (transformações lineares de um espaço vetorial para ele mesmo), em particular, subespaços do espaço domínio com propriedades especiais em relação a um dado operador.

Lembre-se que $\mathcal{L}(V)$ denota o conjunto dos operadores lineares em um espaço vetorial $V$ de dimensão finita.

Noções iniciais - Subespaços invariantes¶

Um subespaço invariante é um subespaço “fechado” sobre um operador $T$ , todos os vetores desse subespaço são levados por $T$ em vetores também desse subespaço.

É comum denotarmos $T|_{U}$ para o operador $T$ restrito ao subespaço $U$ como domínio, ou seja, $T|_{U} \in \mathcal{L}(U,V)$ com $U \subseteq V$ e a transformação dada por $T$ . Nesse sentido, $U$ é um subespaço invariante sobre $T$ quando $T|_{U}$ é um operador em $U$ ( $T|_{U} \in \mathcal{L}(U)$ ).

Exemplo 6.2 (Exemplos de subespaços invariantes)

Exemplos triviais de subespaços invariantes são $\{ 0 \}$ e o próprio $V$ . Além desses, $N(T)$ e $\mathrm{Im}(T)$ também são invariantes: Se $u \in N(T)$ temos $Tu=0 \in N(T)$ ; se $u \in \mathrm{Im}(T)$ , temos $Tu \in \mathrm{Im}(T)$ (pela própria definição da imagem de $T$ ).

Em um caso menos óbvio, mas ainda fácil de enxergar, se $T \in \mathcal{L}(\mathcal{P}_{n})$ é o operador derivada, todos os subespaço de $\mathcal{P}_{n}$ da forma $\mathcal{P}_{i}$ , com $i \leq n$ , são invariantes sobre $T$ (afinal, se $p \in \mathcal{P}_{i}$ então $p$ possui grua máximo $i$ . A derivada de $p$ também possuirá grau máximo $i$ ).

Autovetores e autovalores¶

O estudo dos autovetores e autovalores se inicia com o enfoque em subespaços invariantes de dimensão 1.

Veja que se um subespaço $U \subseteq V$ de dimensão 1 é invariante sobre $T \in \mathcal{L}(V)$ e $u \in V$ é uma base desse subespaço, então $Tu$ deve corresponder a um múltiplo escalar de $u$ . Ou seja,

Tu=\lambda u, \quad \lambda \in \mathbb{R}.

(1)

Reciprocamente, se $u \in V$ é não nulo e tal que $Tu = \lambda u$ , para algum $\lambda \in \mathbb{R}$ , então o subespaço $U=\{ \alpha u: \alpha \in \mathbb{R} \}$ é um subespaço invariante de dimensão 1 com relação à $T$ .

Essa noção nos leva à seguinte definição:

Chamamos o subespaço invariante de dimensão 1 gerado por $v$ de autoespaço associado a $v$ . Note que todo vetor pertencente ao autoespaço de $v$ (ou seja, os múltiplos de $v$ ) também será um autovetor associado ao mesmo autovalor $\lambda$ . Se pensarmos no caso do $\mathbb{R}^{n}$ , todo autoespaço de um operador linear corresponde a uma reta (a gerada pelo autovetor correspondente) que é preservada (mantida no lugar) com a aplicação do operador.

Observe também que não é feita nenhuma restrição em relação ao valor de $\lambda$ . Em particular, quando existem autovetores associados ao autovalor $\lambda=0$ , o operador não será invertível, pois o seu núcleo é não trivial (lembre-se que autovetores são não nulos por definição).

Um exemplo trivial de autovetores e autovalores provém do operador identidade, $I \in \mathcal{L}(V)$ . Para todo $v \in V$ temos $Iv=v$ , logo, todo vetor do espaço $V$ é um autovetor de $I$ , com autovalor associado igual a 1.

Antes de partirmos para um exemplo prático, considere a seguinte observação:

Observação 6.5

Sejam $T\in \mathcal{L}(V)$ , ${} v \in V {}$ e $\lambda \in \mathbb{R}$ , temos a seguinte equivalência:

\begin{align} Tv=\lambda v & \iff Tv-\lambda v =0 \\ & \iff Tv-\lambda Iv=0 \\ & \iff (T-\lambda I)v=0. \end{align}

(3)

A última igualdade nos diz que $v$ está no núcleo do operador $(T-\lambda I)$ . Para que $v$ seja um autovetor associado ao autovalor $\lambda$ , a definição exige que $v$ seja não nulo. Logo, perceba que $v$ será tal autovetor se, e somente se, o operador $(T-\lambda I)$ não for injetivo (consequentemente, não sobrejetivo e não invertível), caso contrário teríamos $N(T-\lambda I)=\{ 0 \}$ , não havendo nenhum $v$ não nulo que satisfaça a primeira igualdade. Em particular, os elementos não nulos do núcleo de $(T-\lambda I)$ irão corresponder a todos os autovetores associados ao autovalor $\lambda$ .

É através dessa observação e do Teorema 4.18 (Invertibilidade de uma matriz) que encontramos/calculamos os autovetores e autovalores de um operador linear (lembre-se que toda transformação linear está associada a uma matriz).

Exemplo 6.6 (Encontrando os autovalores e autovetores de um operador)

Considere o operador linear do $\mathbb{R}^{2}$ dado pela seguinte matriz (na base canônica):

T=\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix}

(4)

Pela estrutura diagonal de $T$ , já é evidente que os vetores $(1,0)$ e $(0,1)$ são autovetores, com autovalores associados 2 e $1/2$ , respectivamente (lembre-se que cada coluna da matriz corresponde a imagem do respectivo vetor da base canônica). Mas vamos mostrar qual a abordagem adotada para encontrar os autovalores e autovetores em um caso geral, onde normalmente não é evidente apenas analisando a matriz. Aproveitaremos para discutir questões sobre a existência e a quantidade de autovalores de um operador.

Considere um $\lambda \in \mathbb{R}$ . Pela Observação 6.5, se existe um autovetor $v \in V$ (nesse caso, $V = \mathbb{R}^{2}$ ) associado a $\lambda$ , então o operador $(T - \lambda I)$ não pode ser invertível. Matricialmente, utilizando o Teorema 4.18 (Invertibilidade de uma matriz), o que devemos ter é que

\det(\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix}-\lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix})=0.

(5)

Ou seja,

\det(\begin{bmatrix} 2 - \lambda & 0 \\ 0 & 1/2-\lambda \end{bmatrix})=0.

(6)

Ao calcularmos o determinante, obtemos

(2-\lambda)(1/2-\lambda)-0=0

(7)

\iff \lambda^{2}-\frac{5}{2}\lambda+1=0

(8)

O polinômio $\lambda^{2}-\frac{5}{2}\lambda+1$ é chamado de polinômio característico da matriz/operador $T$ (mais geralmente, o polinômio característico de uma matriz/operador $T$ é $p(\lambda)=\det(T-\lambda I)$ ). Veja que a existência e quantidade de autovalores está intrinsecamente ligada a este polinômio. A condição $p(\lambda)=0$ nos diz que os autovalores de $T$ são correspondentes às raízes do polinômio característico.

Logo, no caso geral, podemos ter no máximo $n$ autovalores distintos, pois o grau $n$ de $p(\lambda)$ vem do produto dos $n$ fatores da diagonal principal da matriz associada ao operador considerado (em um espaço de dimensão $n$ ). Além disso, a existência de autovalores reais depende de $p(\lambda)$ possuir raízes reais. Logo, quando estamos trabalhando somente com o corpo $\mathbb{R}$ para os escalares dos espaços vetoriais, operadores podem não possuir autovalores (esse é o caso do Exemplo 3.7 (Rotação do plano)). O que não ocorre quando o corpo considerado é $\mathbb{C}$ .

Então, sigamos: o próximo passo é encontrar as raízes de $p(\lambda)$ , que serão os autovalores. Fazendo isso para $p(\lambda)=\lambda^{2}-\frac{5}{2}\lambda+1$ encontramos os autovalores $\lambda_{1} = 2$ e $\lambda_{2}=1/2$ , como esperado da análise inicial. Para encontrar os autovetores, utilizamos novamente a Observação 6.5: se $v$ é um autovetor associado ao autovalor $\lambda$ , então $(T-\lambda I)v=0$ . Então, no nosso exemplo, para encontrar os autovetores associados ao autovalor $\lambda_{1}=2$ , queremos $v=(x,y)$ tal que

\begin{bmatrix} 2 -2 & 0 \\ 0 & 1/2 -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=0

(9)

Isso nos dá

\begin{cases} 0x + 0y=0 \\ 0x-\frac{3}{2}y=0, \end{cases}

(10)

um sistema possível e indeterminado (é natural que isso ocorra, pois como vimos, todos os múltiplos de um autovetor são autovetores com o mesmo autovalor associado. Logo, existem infinitos autovetores para um mesmo autovalor). Dele obtemos $y=0$ , o que nos diz que o vetor solução $(x,y)$ é da forma $(x,0),\, x \in \mathbb{R}$ . Aqui podemos escolher qualquer valor não nulo para $x$ (pois no caso $x = 0$ teríamos o vetor nulo), em particular, $x=1$ , correspondendo ao vetor $(1,0)$ da análise inicial (mas qualquer outro valor não nulo de $x$ escolhido estaria correto).

Ao repetirmos o mesmo processo para $\lambda_{2}=1/2$ , obtemos o vetor $(0,1)$ (mais uma vez, qualquer vetor não nulo da forma $(0,y)$ estaria correto). Veja que os autovetores encontrados nesse processo são “representantes” da reta que constitui o autoespaço associado. Assim, encontramos os autovalores e autovetores associados para o operador $T$ dado nesse exemplo, que neste caso existiam (eram reais).

Basicamente a mesma abordagem é empregada para qualquer matriz/operador, independentemente da dimensão ou da estrutura da matriz (desde que seja quadrada, é claro). Esse é o método mais utilizado para encontrar os autovalores e autovetores, mas também existe uma abordagem que não utiliza diretamente matrizes e determinantes: Neste caso em particular onde $T \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^{2})$ , considerando a relação $T(x,y)=\lambda(x,y)$ e substituindo $T(x,y)$ pelo formato da imagem de $T$ sobre um vetor $(x,y)$ obtemos um sistema linear. A análise das soluções desse sistema nos leva aos mesmos autovalores e autovetores encontrados com as matrizes. No entanto, essa abordagem não matricial se torna pouco prática quando o espaço vetorial possui dimensão maior que 2.

Como já comentado algumas vezes, os autoespaços, do ponto de vista geométrico (pensando no $\mathbb{R}^{n}$ ), são retas preservadas após a aplicação do operador. No exemplo anterior, os autoespaços correspondem aos eixos do plano, com a reta das abcissas correspondendo ao autoespaço gerado por $(1,0)$ e a reta das ordenadas ao autoespaço gerado por $(0,1)$ . O vídeo abaixo ilustra visualmente essa ideia. Veja que o comportamento geométrico da transformação $T=\begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 1/2\end{bmatrix}$ do exemplo anterior é de alongar a componente horizontal por um fator 2 e comprimir a componente vertical por um fator $1/2$ . Observe o eixo $x$ , destacado em amarelo:

O eixo $y$ também é preservado, já que $(0,1)$ também é autovetor.

Parte da importância prática de autovetores/autovalores se deve a essa noção de “preservação” sobre uma transformação.

Por último, temos um importante teorema e corolário envolvendo autovalores e autovetores.

Demonstração 6.7

Suponha que $(v_{1},\dots,v_{m})$ é linearmente dependente. Proposição 2.11 garante que existe pelo menos um índice $i$ entre 1 e $m$ tal que $v_{i} \in \text{span}(v_{1},\dots,v_{i-1})$ . Escolha $k$ como sendo o menor dos índices que satisfaz essa condição. Logo, existem $a_{1},\dots,a_{k-1} \in \mathbb{R}$ tais que

v_{k}=a_{1}v_{1}+\dots+a_{k-1}v_{k-1.}

(11)

Conforme cada $v_{j}$ é um autovetor com autovalor associado ${} \lambda_{j} {}$ , aplicando $T$ em ambos os lados da equação obtemos

\lambda_{k} v_{k}=a_{1}\lambda_{1}v_{1}+\dots+a_{k-1}\lambda_{k-1}v_{k-1}.

(12)

Ao multiplicarmos a equação (11) por $\lambda_{k}$ e da equação resultante subtrairmos a equação (12), obtemos

0=a_{1}(\lambda_{k}-\lambda_{1})v_{1}+\dots+a_{k-1}(\lambda_{k}-\lambda_{k-1})v_{k-1}.

(13)

Note que pela escolha de $k$ devemos ter $(v_{1},\dots,v_{k-1})$ linearmente independente. Logo, cada escalar $a_{i}(\lambda_{k}-\lambda_{i})$ na equação acima deve ser igual a zero. Uma vez que, por hipótese, cada autovalor é distinto dos demais, temos $\lambda_{k} - \lambda_{i} \neq 0$ para todo $i \in \{ 1,\dots,k-1 \}$ . Assim, a única possibilidade restante é que $a_{1}=\dots=a_{k-1}=0$ . Mas, retornando a (11), isso implicaria que $v_{k}=0$ , uma contradição ao fato de que $v_{k}$ é um autovetor (por definição não nulo). Portanto, $(v_{1},\dots,v_{m})$ deve ser linearmente independente.

Demonstração 6.8

Sejam $\lambda_{1},\dots,\lambda_{m}$ autovalores distintos de $T$ com $v_{1},\dots,v_{m}$ respectivos autovetores associados. Pelo teorema anterior, $(v_{1},\dots,v_{m})$ é linearmente independente. Proposição 2.26 garante que $\dim [\text{span}(v_{1},\dots,v_{m})] \leq \dim V$ . Em particular, a dimensão do subespaço $\text{span}(v_{1},\dots,v_{m})$ é $m$ , pois os autovetores são linearmente independentes. Portanto, $m \leq \dim V$ .

Footnotes¶

A restrição de que $v$ seja não nulo provém do fato de que caso $v=0$ , para qualquer $\lambda \in \mathbb{R}$ teríamos $Tv=T0=0=\lambda0$ , então 0 seria sempre autovetor de qualquer autovalor $\lambda$ . Essa restrição remove esse caso trivial e torna a definição mais “limpa”, focando somente nos casos relevantes.
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