2. Propriedades de espaços vetoriais de dimensão finita

Os conceitos discutidos no tópico anterior são válidos para espaços vetoriais arbitrários. Daqui em diante, os espaços vetoriais considerados possuem dimensão finita (o significado de dimensão ficará claro futuramente).

Observação 2.1

Nesse livro, utilizamos amplamente o conceito de lista para representar um conjunto de vetores. Por exemplo, a lista $(v_{1},\dots,v_{n})$ onde cada $v_{i}$ é vetor de um espaço vetorial $V$ . Note que tal lista será tratada de maneira diferente da lista $(a_{1},\dots,a_{n})$ onde cada $a_{i}$ é um número real, sendo essa última tratada como um vetor do espaço ${} \mathbb{R}^{n} {}$ . Em geral, a distinção entre listas de vetores e vetores do ${} \mathbb{R}^{n} {}$ ficará clara pelo contexto, mas sempre especificaremos qual o tipo de objeto que se trata e tentaremos padronizar a notação de maneira que $u$ , $v$ e $w$ serão utilizados para representar vetores, enquanto que $a$ , $b$ , $c$ , $x$ , $y$ , $\alpha$ e $\beta$ serão utilizados para representar números reais.

Não faremos operações de soma e multiplicação por escalar entre listas de vetores como fazemos para vetores do $\mathbb{R}^{n}$ , apenas inserção, remoção e ordenação de elementos. Na prática, funcionando como um conjunto que distingue elementos repetidos e é ordenado, o que facilita a definição de muitos conceitos e demonstrações. Muitos textos de Álgebra Linear utilizam conjuntos de vetores, mas os conceitos e resultados com a abordagem de listas são equivalentes (feitas as devidas adaptações, quando necessário).

Combinações lineares e espaço gerado¶

Definição 2.4 (Espaço gerado)

Seja $(v_{1},\dots, v_{n})$ uma lista de vetores em $V$ . Considere o seguinte conjunto:

S=\{ \alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{n}v_{n}:\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\in \mathbb{R} \}

(2)

Isto é, $S$ é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis entre os vetores $v_{1},\dots,v_{n}$ . Utilizando os resultados do tópico anterior, verificamos facilmente que $S$ é um subespaço vetorial de $V$ . Dizemos que $S$ é o espaço gerado por $(v_{1},\dots,v_{n})$ e denotaremos-o por $\text{span}(v_{1},\dots,v_{n})$ (notação mais comum, proveniente do termo em inglês para o espaço gerado^[1]).

Quando $\text{span}(v_{1},\dots,v_{n})=V$ , dizemos que $(v_{1},\dots,v_{n})$ gera $V$ . Logo, dizemos que um espaço vetorial tem dimensão finita quando uma quantidade finita de seus elementos o gera.

Independência linear¶

De maneira similar à definição de soma direta para um conjunto de subespaços, definimos o conceito de independência linear para uma lista de vetores.

Através da definição, verifica-se sem muita dificuldade que toda lista de vetores que está contida em uma lista linearmente independente também será linearmente independente.

Um exemplo típico de vetores linearmente dependentes são múltiplos (quando um vetor é o outro multiplicado por um escalar).

Exemplo 2.10

Considere os vetores $(1,2)$ e $(2,4)$ , do $\mathbb{R}^{2}$ . Como $(2,4)=2(1,2)$ , então

0=\alpha_{1}(1,2)+\alpha_{2}(2,4)=\alpha_{1}(1,2)+2\alpha_{2}(1,2)=(\alpha_{1}+2\alpha_{2})(1,2)

(6)

Se considerarmos $\alpha_{1}+2\alpha_{2}=0$ , então basta escolhermos $\alpha_{1},\alpha_{2}\in \mathbb{R}$ que satisfaçam $\alpha_{1}=-2\alpha_{2}$ . Por exemplo, com $\alpha_{1}=2$ e $\alpha_{2}=-1$ temos

2(1,2)+(-1)(2,4)=(2,4)+(-2,-4)=(0,0)

(7)

Como temos o vetor nulo resultante de uma combinação linear entre $(1,2)$ e $(2,4)$ cujos escalares não são ambos nulos, então $(1,2)$ e $(2,4)$ são linearmente dependentes.

De maneira geral, sempre que tivermos o vetor nulo pertencente à lista de vetores, então ela será linearmente dependente: se considerarmos $0=\alpha_{0}0+\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{n}v_{n}$ , dados valores de $\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}$ que satisfaçam $\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{n}v_{n}=0$ (mesmo que sejam todos nulos), então qualquer $\alpha_{0} \in \mathbb{R}$ irá satisfazer a igualdade. Logo, mesmo que $(v_{1},\dots,v_{n})$ seja linearmente independente, ao adicionarmos o vetor nulo a lista se torna linearmente dependente.

Demonstração 2.11

Se $(v_{1},\dots, v_{n})$ é linearmente dependente, então $0 = \alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{n}v_{n}$ de modo que pelo menos um dos escalares é não nulo. Como $v_{1} \neq 0$ , não podemos ter $\alpha_{2}=\alpha_{3}=\dots=\alpha_{n}=0$ , (pois, nesse caso, para a igualdade valer deveríamos ter $\alpha_{1}=0$ também, logo, todos os escalares seriam nulos, uma contradição). Dessa forma, existe pelo menos um $k\in \{ 2,\dots,n \}$ tal que $\alpha_{k}\neq 0$ . Seja $i$ o maior elemento em $\{ 2,\dots,n \}$ com essa propriedade, podemos escrever:

v_{i}=-\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{i}}v_{1}-\dots-\frac{\alpha_{i-1}}{\alpha_{i}}v_{i-1}

(8)

(observe que, pela escolha de $i$ , os escalares com índice maior que $i$ são nulos).

Para a segunda parte, considere $u \in \text{span}(v_{1},\dots,v_{n})$ . Logo, existem $\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\in \mathbb{R}$ tais que

u=\alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{n}v_{n}

(9)

Substituir $v_{i}$ na equação acima pelo lado direito da equação (8) mostra que $u$ pertence ao espaço gerado pela lista resultante da remoção de $v_{i}$ de $(v_{1},\dots,v_{n})$ , logo, os dois espaços gerados são iguais (pois $u$ é um elemento arbitrário de $\text{span}(v_{1},\dots,v_{n})$ e, por outro lado, o espaço gerado pela lista sem $v_{i}$ está contido no espaço gerado pela lista completa).

Esse resultado nos diz que é possível reduzir uma lista de vetores linearmente dependentes em uma lista linearmente independente, removendo vetores que são combinação linear de outros vetores da lista (no caso da lista conter somente o vetor nulo, a lista resultante desse processo é vazia, assumida como linearmente independente por convenção).

Demonstração 2.12

Suponha que $\text{span}(v_{1},\dots,v_{n})=V$ e $(u_{1},\dots,u_{ m})$ é linearmente independente. Observe que $(u_{1},v_{1},\dots,v_{n})$ ainda gera $V$ e é linearmente dependente (pois como $v_{1},\dots,v_{n}$ geram $V$ , $u_{1}$ pode ser escrito como combinação linear deles). Logo, uma vez que ${} u_{1} \neq 0$ (pois ${} (u_{1},\dots,u_{m})$ é linearmente independente), podemos remover um dos $v$ ’s de modo que a lista resultante ainda gera $V$ (utilizando Proposição 2.11).

A partir dessa lista resultante, continuamos o processo, fazendo o mesmo para ${} u_{2}$ , ${} u_{3}$ ... até ${} u_{m-1} {}$ . Em cada etapa, substituímos um $v$ por um $u$ , com a lista resultante ainda gerando $V$ . Logo, ao adicionarmos ${} u_{m}$ , na $m$ -ésima etapa, a lista resultante será linearmente dependente. Se não tivéssemos um $v$ para remover teríamos uma contradição, pois a lista resultante seria $(u_{1},\dots,u_{m})$ , que é linearmente independente.

Isso implica que devemos ter uma quantidade de $v$ ’s pelo menos igual a quantidade de $u$ ’s. Ou seja, $m \leq n$ .

A partir desses resultados também obtemos que qualquer subespaço de um espaço de dimensão finita terá, da mesma forma, dimensão finita. Como é de se esperar.

Bases¶

A união entre os conceitos de espaço gerado e independência linear origina a ideia de base, central na Álgebra Linear.

Veja que multiplicar os vetores da base canônica por escalares quaisquer não altera as duas propriedades que fazem deles uma base. Logo, existem infinitas bases para $\mathbb{R}^{n}$ . Existem também bases formadas por vetores que não são somente múltiplos dos vetores da base canônica, como ilustra o próximo exemplo.

Exemplo 2.15

$(1,2)$ e $(3,4)$ formam uma base de $\mathbb{R}^{2}$ .

A parte da independência linear é clara, uma vez que um vetor não é múltiplo do outro. Para mostrar que eles geram $\mathbb{R}^{2}$ consideramos um elemento qualquer desse espaço, $(x,y) \in \mathbb{R}^{2}$ . Se tais vetores geram esse espaço devem existir escalares $a,b \in \mathbb{R}$ tais que:

\begin{align} (x,y) & =a(1,2)+b(3,4) \\ & =(a,2a)+(3b,4b) \\ & =(a+3b,2a+4b) \end{align}

(11)

Isso nos dá o seguinte sistema linear:

\begin{cases} a+3b & =x \\ 2a+4b & =y \end{cases}

(12)

Observe que, independente dos valores de $x$ e $y$ , podemos determinar valores reais para $a$ e $b$ a partir deles, uma vez que as linhas não são múltiplas (consequência dos vetores associados serem linearmente independentes), impossibilitando que haja qualquer contradição para os valores de $a$ e $b$ (se as linhas fossem múltiplas, as equações só seriam simultaneamente verdadeiras se $x$ e $y$ também fossem múltiplos, pelo mesmo fator. Como não há essa restrição, encontramos soluções para qualquer $(x,y)$ ). Então, qualquer vetor de $\mathbb{R}^{2}$ pode ser escrito como combinação linear de $(1,2)$ e $(3,4)$ , ou seja, esses vetores geram $\mathbb{R}^{2}$ .

Esse exemplo nos dá um indício de que bases são maximais em relação à quantidade de vetores, pois a inclusão de um novo vetor à base do Exemplo 2.15 fez com que uma das condições necessárias em Definição 2.13 (Base) falhasse. De fato isso é verdadeiro, como será visto posteriormente.

Antes de partirmos para as proposições e teoremas, um último exemplo ilustrando uma base de um espaço vetorial diferente do $\mathbb{R}^{n}$ :

Demonstração 2.18

$(\implies)$ Se $(v_{1},\dots,v_{n})$ é uma base de $V$ , em particular, $(v_{1},\dots,v_{n})$ gera $V$ . Logo, para todo $v \in V$ , existem $\alpha_{1},\dots,\alpha_{n} \in \mathbb{R}$ de modo que $v= \alpha_{1}v_{1}+\dots+\alpha_{n}v_{n}$ . Quanto à unicidade, se existem $\alpha_{1}',\dots,\alpha_{n}'\in \mathbb{R}$ tais que $v=\alpha_{1}'v_{1}+\dots+\alpha_{n}'v_{n}$ , então

0=v-v=(\alpha_{1}-\alpha_{1}')v_{1}+\dots+(\alpha_{n}-\alpha_{n}')v_{n}

(15)

Pelo fato de $(v_{1},\dots,v_{n})$ ser linearmente independente (pois é uma base), devemos ter $\alpha_{1}-\alpha_{1}'=\dots=\alpha_{n}-\alpha_{n}'=0$ , implicando que $\alpha_{1}=\alpha_{1}',\dots,\alpha_{n}=\alpha_{n}'$ , provando que os escalares são únicos.

$(\impliedby)$ A volta é direta: se todo vetor em $V$ pode ser escrito como combinação linear de $v_{1},\dots,v_{n}$ então estes vetores geram $V$ . Além disso, se essa escrita é única, então o vetor nulo só pode ser escrito trivialmente, ou seja, $\alpha_{1}=\dots=\alpha_{n}=0$ e $v_{1},\dots,v_{n}$ são linearmente independentes. Logo, $(v_{1},\dots,v_{n})$ é uma base de $V$ .

A Proposição 2.18 (Caracterização de bases) nos permite definir um conceito muito utilizado, as coordenadas de um vetor com relação a uma base específica.

Definição 2.19 (Coordenadas de um vetor em uma base)

Seja $\beta=(v_{1},\dots,v_{n})$ uma base do espaço $V$ . Pela Proposição 2.18 (Caracterização de bases), para todo $v \in V$ existem $a_{1},\dots,a_{n} \in \mathbb{R}$ únicos tais que

v=a_{1}v_{1}+\dots+a_{n}v_{n}.

(16)

Os escalares $a_{1},\dots,a_{n}$ são chamados coordenadas de $v$ na base $\beta$ . Normalmente, representamos essas coordenadas na forma matricial:

[v]_{\beta}=\begin{bmatrix} a_{1} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix}.

(17)

Observe que cada escalar na combinação linear (16) está associado ao seu respectivo vetor da base, independente da ordem da soma. No entanto, quando representamos uma base como uma lista de vetores $(v_{1},\dots,v_{n})$ temos uma base ordenada, ou seja, a ordem dos vetores importa. Mudar a sua ordem mudará a ordem das coordenadas de um vetor nessa base.

Exemplo 2.20

Vamos determinar as coordenadas do vetor $(1,2) \in \mathbb{R}^{2}$ na base $\beta=((1,1),(0,2))$ .

Queremos escalares $a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R}$ tais que

a_{1}(1,1)+a_{2}(0,2)=(1,2).

(18)

Sendo assim,

(a_{1},a_{1})+(0,2a_{2})=(a_{1},a_{1}+2a_{2})=(1,2).

(19)

O que nos dá o seguinte sistema:

\begin{cases} a_{1}=1 \\ a_{1}+2a_{2}=2 \end{cases}

(20)

De onde obtemos $a_{2}=1/2$ . Isto é,

1\cdot (1,1)+\frac{1}{2}\cdot (0,2)=(1,1)+(0,1)=(1,2).

(21)

Portanto,

[(1,2)]_{\beta}=\begin{bmatrix} 1 \\ 1/2 \end{bmatrix}.

(22)

Demonstração 2.21

Suponha que $(v_{1},\dots,v_{n})$ gera $V$ . Primeiramente, se $v_{1}= 0$ remova-o. A partir disso, uma aplicação sequencial de Proposição 2.11 indo de $v_{2}$ até $v_{n}$ , removendo os vetores que pertencem ao espaço gerado pelos anteriores, nos dará uma nova lista que ainda gera $V$ e que é agora linearmente independente, ou seja, uma base de $V$ .

Esse teorema nos garante que todo espaço vetorial de dimensão finita possui uma base, uma vez que possui uma lista finita de vetores que o gera e então podemos reduzi-la em uma base.

Agora, mostramos o processo contrário ao do teorema anterior, que toda lista linearmente independente pode ser estendida em uma base, adicionando novos vetores.

Demonstração 2.22

Seja $(v_{1},\dots,v_{n})$ linearmente independente e $u_{1},\dots,u_{m} \in V$ tais que $\text{span}( u_{1},\dots,u_{m})=V$ . Começamos verificando se $u_{1}$ pertence ao $\text{span}(v_{1},\dots,v_{n})$ . Se não pertencer, adicionamos-o a lista $(v_{1},\dots,v_{n})$ , caso contrário, não o adicionamos. Repetimos o processo para $u_{2}$ , verificando se ele pertence ao espaço gerado pela nova lista (que pode ter ou não novos elementos). Fazendo isso até $u_{m}$ , ao final obtemos uma lista linearmente independente (pois nenhum vetor na lista pertence ao span dos anteriores) e que gera $V$ (pois todos os $u_{i}$ pertencem ao span da nova lista, e eles geram $V$ ). Logo, construímos uma base de $V$ .

Um resultado similar, sobre subespaços e somas diretas, pode ser extraído a partir desse teorema: Dado um subespaço $W$ de $V$ , existe outro subespaço $U$ de $V$ , de modo que $V=W\oplus U$ . A ideia é considerar uma base de $W$ (que existe, pelo Teorema 2.21 (Spans podem ser reduzidos em uma base)) e completá-la em uma base de $V$ usando o Teorema 2.22 (Vetores LI podem ser estendidos em uma base), os vetores complementares obtidos serão a base do subespaço $U$ . É fácil verificar que isso nos dará $V=W\oplus U$ . Note que se $W=V$ , então $U=\{ 0 \}$ .

Por fim, um resultado que é naturalmente esperado e é importante para a definição de dimensão:

Demonstração 2.23

Sejam $B_{1} =(v_{1},\dots,v_{n})$ e ${} B_{2}= (u_{1},\dots,u_{m})$ bases de $V$ , utilizamos o Teorema 2.12: Por um lado, $B_{1}$ é uma lista de vetores linearmente independentes em $V$ e $B_{2}$ é uma lista de vetores que gera $V$ , logo, $n\leq m$ . Por outro lado, invertendo os papeis de $B_{1}$ e $B_{2}$ , obtemos $m\leq n$ . Ou seja, $n=m$ e as bases possuem a mesma quantidade de vetores.

Dimensão¶

A definição de dimensão para um espaço de “dimensão finita” parece circular, mas lembre-se que um espaço possui dimensão finita se pode ser gerado por uma lista finita de vetores, e essa definição não depende do conceito de dimensão definido agora. A necessidade de especificar que o espaço tenha dimensão finita se dá, pois, se o espaço possuir dimensão infinita, então qualquer uma de suas bases conterá infinitos elementos, logo, o conceito de “comprimento” não será mais limitado a um número real, fugindo do escopo elementar da Álgebra Linear.

Exemplo 2.25

Como é esperado, seja $n \in \mathbb{N}$ , o espaço $\mathbb{R}^{n}$ possui dimensão $n$ . Por exemplo, o espaço das duplas ordenadas $\mathbb{R}^{2}=\{ (x,y):x,y \in \mathbb{R} \}$ possui dimensão 2; o espaço das 123-uplas ordenadas, $\mathbb{R}^{123}$ , possui dimensão 123...

A dimensão de um espaço fica evidente quando pensamos na sua base canônica, por exemplo, $\mathcal{P}_{m}$ (polinômios de grau menor ou igual a $m$ ) possui dimensão $m+1$ , sua base canônica é $( 1,x,x^{2},\dots,x^{m} )$ , que possui $m+1$ elementos.

O espaço que contém somente o vetor nulo, $\{ 0 \}$ , possui dimensão zero. Lembre-se que o vetor nulo não é uma base desse espaço pois, por definição, é linearmente dependente. A base do espaço nulo (ou espaço trivial) é dada pela lista vazia (ou seja, que não contém vetores), representada por $()$ .

Como já mencionado, todo subespaço de um espaço de dimensão finita terá dimensão finita. Então, naturalmente, temos o seguinte resultado:

Demonstração 2.26

Observe que qualquer base de $U$ é uma lista linearmente independente de vetores que também pertencem a $V$ . Logo, pelo Teorema 2.22 (Vetores LI podem ser estendidos em uma base), pode ser estendida em uma base de $V$ , o que implica que $\dim U \leq \dim V$ .

Os próximos dois resultados mostram que se uma lista de vetores possui comprimento igual a dimensão do espaço, somente uma das condições em Definição 2.13 (Base) precisa ser verificada para que a lista seja uma base desse espaço. Em ambos os casos, $V$ é um espaço de dimensão finita.

Demonstração 2.27

$(v_{1},\dots,v_{n})$ gera $V$ , pelo Teorema 2.21 (Spans podem ser reduzidos em uma base) essa lista pode ser reduzida em uma base de $V$ . Por outro lado, $(v_{1},\dots,v_{n})$ já possui comprimento igual a $\dim V$ . Como todas as bases possuem mesmo comprimento, a redução deve ser a trivial, isto é, $(v_{1},\dots,v_{n})$ já é uma base de $V$ .

Demonstração 2.28

O raciocínio é similar à proposição anterior. $(v_{1},\dots,v_{n})$ é linearmente independente, que pelo Teorema 2.22 (Vetores LI podem ser estendidos em uma base) pode ser estendida em uma base de $V$ . Mas, seu comprimento é igual a dimensão de $V$ (e todas as bases possuem comprimento igual a dimensão de $V$ ), logo, a extensão é a trivial e $(v_{1},\dots,v_{n})$ já é uma base de $V$ .

O teorema a seguir nos dá uma fórmula para a dimensão da soma de dois subespaços. Observe que ela é análoga à fórmula da cardinalidade da união de dois conjuntos finitos, dada por $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$ .

Demonstração 2.30

Começamos considerando $(v_{1},\dots,v_{n})$ uma base de $V_{1}\cap V_{2}$ , logo, temos que $\dim V_{1}\cap V_{2}=n$ . Observe que, por ser uma base da interseção entre $V_{1}$ e $V_{2}$ , $(v_{1},\dots,v_{n})$ é uma lista de vetores linearmente independentes simultaneamente em $V_{1}$ e em $V_{2}$ . Logo, podemos estender $(v_{1},\dots ,v_{n})$ para uma base $(v_{1},\dots,v_{n},u_{1},\dots,u_{i})$ de $V_{1}$ , assim como para uma base $(v_{1},\dots,v_{n},w_{1},\dots,w_{j})$ de $V_{2}$ (note que cada $u_{k}$ é elemento de $V_{1}$ , enquanto que cada $w_{k}$ é elemento de $V_{2}$ ). Daí, temos que $\dim V_{1}=n+i$ e $\dim V_{2}=n+j$ . Veja que $(v_{1},\dots,v_{n},u_{1},\dots,u_{i},w_{1},\dots,w_{j})$ gera $V_{1}+V_{2}$ , logo, se tal lista for linearmente independente será uma base de $V_{1}+V_{2}$ , de onde teremos

\begin{align} \dim V_{1}+V_{2} & =n+i+j \\ & =n+i+j+n-n \\ & =(n+i)+(n+j)-n \\ & =\dim V_{1}+\dim V_{2} - \dim (V_{1}\cap V_{2}). \end{align}

(24)

Para mostrar que $(v_{1},\dots,v_{n},u_{1},\dots,u_{i},w_{1},\dots,w_{j})$ é linearmente independente, consideramos

a_{1}v_{1}+\dots+a_{n}v_{n}+b_{1}u_{1}+\dots+b_{i}u_{i}+c_{1}w_{1}+\dots+c_{j}w_{j}=0

(25)

e devemos mostrar que todos esses escalares são nulos. Podemos reescrever a igualdade como

b_{1}u_{1}+\dots+b_{i}u_{i}=-a_{1}v_{1}-\dots-a_{n}v_{n}-c_{1}w_{1}-\dots-c_{j}w_{j}.

(26)

Lembrando que $(v_{1},\dots,v_{n},w_{1},\dots,w_{j})$ é uma base de $V_{2}$ , essa última igualdade nos diz que $b_{1}u_{1}+\dots+b_{i}u_{i} \in V_{2}$ . Por outro lado, cada $u_{k}$ está em $V_{1}$ , logo, $b_{1}u_{1}+\dots+b_{i}u_{i} \in V_{1}\cap V_{2}$ . Assim, utilizando a base $(v_{1},\dots,v_{n})$ de $V_{1} \cap V_{2}$ , podemos escrever

b_{1}u_{1}+\dots+b_{i}u_{i}=d_{1}v_{1}+\dots+d_{n}v_{n}

(27)

para escalares $d_{1},\dots ,d_{n} \in \mathbb{R}$ . Subtraindo o membro da direita em ambos os lados da última igualdade e lembrando que $(v_{1},\dots,v_{n},u_{1},\dots,u_{i})$ é uma base de $V_{1}$ (logo, é linearmente independente), obtemos que $b_{1}=\dots=b_{i}=d_{1}=\dots=d_{n}=0$ . Em particular, os escalares $b$ ’s são todos nulos, logo, considerando esse fato na igualdade (25) obtemos

a_{1}v_{1}+\dots+a_{n}v_{n}+c_{1}w_{1}+\dots+c_{j}w_{j}=0.

(28)

Similarmente, invocamos o fato de que $(v_{1},\dots,v_{n},w_{1},\dots,w_{j})$ é uma base de $V_{2}$ e, portanto, é linearmente independente, donde obtemos que todos os escalares $a$ ’s e $c$ ’s são nulos, concluindo a demonstração.

Por fim, temos uma proposição que relaciona dimensão e soma direta.

Demonstração 2.31

Utilizaremos a Proposição 1.17 do tópico anterior. Já temos que $V=U_{1}+\dots+U_{n}$ (pela condição 1), restando mostrar que $0=u_{1}+\dots+u_{n}$ , com $u_{k} \in U_{k}$ , implica que $u_{1}=\dots=u_{n}=0$ .

Considere, para cada $U_{k}$ , uma base $(u_{1}^{k}\dots u_{m_{k}}^{k})$ . Observe que a lista resultante da união dessas bases, dada por $(u_{1}^{1},\dots,u_{m_{1}}^{1},\dots,u_{1}^{n},\dots,u_{m_{n}}^{n})$ , gera $V$ (pela condição 1 novamente) e possui comprimento igual a dimensão de $V$ (utilizando a condição 2, uma vez que o comprimento dessa lista é a soma dos comprimentos das bases de cada $U_{k}$ , e o comprimento de cada base é exatamente $\dim U_{k}$ ). Logo, $(u_{1}^{1},\dots,u_{n_{1}}^{1},\dots,u_{1}^{n},\dots,u_{m_{n}}^{n})$ é uma base de $V$ e, em particular, é uma lista linearmente independente. Então, ao reescrevermos cada $u_{k}$ em $0=u_{1}+\dots+u_{n}$ como uma combinação linear da sua respectiva base obtemos que todos os escalares são nulos, consequentemente, cada $u_{k}$ será o vetor nulo, concluindo a demonstração.

Footnotes¶

Alternativamente, encontra-se a notação $[\{ v_{1},\dots,v_{n} \}]$ .
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