Espaços Vetoriais - Álgebra Linear

Conceitos iniciais¶

O conceito de Espaço Vetorial é o alicerce onde se constrói a Álgebra Linear. Começamos com sua definição.

Definition 1 (Espaço Vetorial)

Seja $V$ um conjunto não vazio que estejam definidas duas operações:

A adição em $V$ , uma função que associa um elemento $u+v \in V$ para cada par $u,v \in V$ ;
A multiplicação por escalar, um função que associa um elemento $\alpha v \in V$ para cada escalar real $\alpha \in \mathbb{R}$ e elemento $v \in V$ .

$V$ irá constituir um Espaço Vetorial se as seguintes propriedades são válidas:

Comutatividade: $u+v=v+u$ para todo $u,v \in V$ ;
Associatividade: $(u+v)+w=u+ (v+w)$ e $(\alpha\beta)v=\alpha(\beta v)$ para todo $u,v,w \in V$ e $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$ ;
Elemento neutro da adição: Existe um elemento $0 \in V$ tal que $v+0=v$ para todo $v \in V$ ;
Inverso aditivo: Para todo $v \in V$ , existe $w \in V$ tal que $v+w=0$ ;
Identidade multiplicativa: Para todo $v \in V$ , tem-se $1v=v$ ;
Distributividade: $\alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v$ e $(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v$ para todo $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$ e $u,v \in V$ .

Os elementos de $V$ são chamados de vetores.

Essas 6 propriedades são chamadas de axiomas do Espaço Vetorial (são comuns variações equivalentes desses axiomas).

Em particular, esta é a definição de um Espaço Vetorial Real, uma vez que a multiplicação por escalar está definida sobre o conjunto $\mathbb{R}$ dos números reais. A teoria da Álgebra Linear abrange também o conjunto dos números complexos (na verdade, qualquer estrutura algébrica que constitua um corpo), no entanto, lidaremos aqui apenas com os espaços vetoriais definidos sobre $\mathbb{R}$ , mas tenha em mente que grande parte dos resultados podem ser estendidos para os números complexos, com as devidas adaptações.

Observe como os axiomas dependem das operações de adição e multiplicação por escalar. Nos principais espaços vetoriais que iremos lidar, essas operações são definidas de maneiras distintas, no entanto, serão bastante similares na prática. É importante destacar que, a priori, essas são as únicas operações definidas para vetores. Logo, se $u$ e $v$ são ambos vetores, a multiplicação $uv$ não está definida. As operações e propriedades usuais dos números reais mantêm-se normalmente para os escalares (note que os axiomas 2 e 6 utilizam o produto e adição de números reais, respectivamente).

Vejamos o principal exemplo de espaço vetorial.

Example 1

As n-uplas ordenadas com entradas reais, representadas por $(a_{1},a_{2},\dots,a_{n})$ com $a_{1},a_{2},\dots,a_{n} \in \mathbb{R}$ , compõem o conjunto denotado por $\mathbb{R}^{n}$ . A adição e o produto escalar são definidos como se espera:

\begin{align} & (a_{1},\dots,a_{n})+(b_{1},\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n}) \\ & \alpha(a_{1},\dots,a_{n})=(\alpha a_{1},\dots,\alpha a_{n}),\; \alpha \in \mathbb{R} \end{align}

(1)

Com estas operações, $\mathbb{R}^{n}$ constitui um espaço vetorial. Verifique que os axiomas do espaço vetorial são satisfeitos.

O terceiro axioma em Definition 1 diz respeito ao elemento neutro da adição em um espaço vetorial. Tal elemento é denominado vetor nulo e denotado por 0 (apesar de poder causar confusão com o escalar real 0, em geral o contexto deixa claro qual elemento se trata. Por exemplo, se $v$ é um vetor, entao em $v + 0$ temos o vetor nulo, enquanto que $0v$ temos o escalar nulo). O resultado a seguir constata a unicidade desse elemento, em quaquer espaço vetorial.

Similarmente, temos a unicidade do inverso aditivo, retratado no axioma 4.

Assim, denotamos o inverso aditivo de um vetor $v$ por $-v$ e escrevemos $v+(-v)$ como $v-v$ .

Observe que, como é natural de se esperar, temos $0v=0$ , pois $0v=(0+0)v=0v+0v$ , de onde obtemos $0=0v$ ao adicionarmos $-0v$ em ambos os lados. A partir disso, também temos $-v=(-1)v$ , pois $0=0v=(1-1)v=v+(-1)v$ e aplicamos a unicidade do inverso aditivo.

Agora, voltamos nossa atenção para subconjuntos de espaços vetoriais que também constituem espaços vetoriais.

O fato de $U$ ser um subconjunto de um espaço vetorial $V$ faz com que ele já herde grande parte dos axiomas que definem um espaço vetorial (a saber: associatividade, comutatividade, distributividade e identidade multiplicativa). Assim, para manter a conformidade com a Definition 1 é suficiente verificar apenas estas 3 condições. A terceira condição, em particular, não só nos garante que a operação de mult. por escalar é fechada no conjunto $U$ , mas também nos dá o axioma do inverso aditivo, pois já verificamos que $-v=(-1)v$ , logo, se $U$ é fechado na multiplicação temos $-v \in U$ para todo $v \in U$ .

Note que a condição 1 impede que um conjunto vazio seja um subespaço. O menor subespaço possível será aquele contendo somente o vetor nulo: $\{ 0 \}$ . E, com exceção desse, todo os outros subespaços terão infinitos elementos (consequência do subespaço ser fechado na adição e multiplicação).

Para o $\mathbb{R}^{n}$ , é comum que subespaços sejam interpretados geometricamente. No caso do $\mathbb{R}^{3}$ , por exemplo, todo os seus subespaços próprios (que não sejam ele mesmo) e não nulos formam retas ou planos.

União e interseção de subespaços¶

A união de subespaços, no entanto, não se comporta da mesma maneira. Há casos em que a união não será um subespaço:

Example 4

Considere os seguintes subespaços de $\mathbb{R}^{2}$ :

${} S_{1}=\{ (0,y)/ y \in \mathbb{R} \} {}$ ;
$S_{2}=\{ (x,0)/ x \in \mathbb{R} \}$ .

Inicialmente, note que $S_{1}\cap S_{2} = \{ 0 \}$ . Logo, seja $v \in S_{1} \cup S_{2}$ tal que $v \neq 0$ , $v$ só pode ser da forma $(0,y)$ ou $(x,0)$ , com $x$ e $y$ diferentes de zero. Assim, considere $v,w \in S_{1}\cup S_{2}$ , de forma que $v \in S_{1}$ e $w \in S_{2}$ e ambos diferentes do vetor nulo. Observe que $v+w=(x,y)$ , para $x,y \in \mathbb{R}-\{ 0 \}$ , o que claramente não é um elemento de $S_{1}$ ou de $S_{2}$ , portanto não pertence a união.

Assim, $S_{1}\cup S_{2}$ não é fechado na soma e, logo, não é um subespaço vetorial.

O próximo resultado elucida a condição necessária (e suficiente) para que a união entre subespaços mantenha-se um subespaço.

Proof 4

$(\implies)$ Seja $U\cup W$ um subespaço. Suponha, por contradição, que $U \not \subset W$ e $W \not \subset U$ , isso implica que existem elementos $u \in U-W$ e $w \in W-U$ diferentes do vetor nulo. Pelo fato de que $U \cup W$ é um subespaço e $u,w \in U\cup W$ , temos $u+w \in U\cup W$ , mas isso significa que (pela definição de união entre conjuntos) $u+w \in U$ ou $u+w \in W$ , uma contradição à hipótese de que $v$ e $w$ não pertencem ao mesmo subespaço (por exemplo, se ${} u+w \in U {}$ , pelo fato de $U$ ser fechado na soma e multiplicação por escalar teríamos $u+w-u=w \in U$ ).

$(\impliedby)$ Suponha, sem perda de generalidade, que $U\subseteq W$ . Segue-se então que $U\cup W=W$ e já temos que $W$ é um subespaço vetorial.

Soma e soma direta de subespaços¶

Observe que a soma entre os subespaços resultou no próprio espaço o qual eles pertencem, que em particular é também um subespaço. O próximo resultado nos mostra que somas de subespaços sempre resultam em subespaços (mas não necessariamente no espaço vetorial inteiro, as condições para que isso ocorra serão discutidas futuramente).

Proof 5

Verificaremos que para dois subespaços $U$ e $W$ de $V$ , $U+W$ é um subespaço de $V$ . O caso geral para uma quantidade $n$ de subespaços verifica-se indutivamente a partir disso.

Observe que $U+W \subseteq V$ , logo, devemos verificar apenas as 3 condições em Definition 2:

Seja $\alpha \in \mathbb{R}$ e $v \in U+W$ . Então $v=u+w$ , para $u\in U$ e $w\in W$ , e $\alpha v=\alpha(u+w)=\alpha u+\alpha w$ . Mas $\alpha u\in U$ e $\alpha w \in W$ , logo $\alpha v \in U + W$ ;
Similarmente, sejam $v_{1},v_{2} \in U+W$ , com $v_{1}=u_{1}+w_{1}$ e $v_{2}= u_{2}+w_{2}$ , então $v_{1}+v_{2}=(u_{1}+u_{2})+(w_{1}+w_{2})$ . Como $u_{1}+u_{2} \in U$ e $w_{1}+w_{2} \in W$ , temos $v_{1}+v_{2} \in U+W$ ;
Por fim, evidentemente $0 \in U+W$ .

Logo, $U+W$ é um subespaço de $V$ .

Agora, definimos um tipo diferente de soma entre subespaços, que funciona como um caso especial da soma anterior.

O “modo único” significa que cada vetor $u_{i}$ é fixo, uma vez fixado $w$ . Logo, não existe um vetor $u_{k}' \neq u_{k}$ de modo que $w=u_{1}'+\dots+u_{k}'+\dots+u_{n}'$ (com $u_{i}'$ podendo ser igual ou não a $u_{i}$ , para $i \neq k$ ).

No caso do exemplo Example 5, observe que além de $\mathbb{R}=S_{1}+S_{2}$ temos $\mathbb{R}=S_{1}\oplus S_{2}$ , pois cada subespaço influencia em apenas uma das duas coordenadas.

A grande diferença entre os dois tipos de soma fica evidente fazendo-se uma analogia à união de conjuntos. Sejam $C_{1},C_{2}$ e $C_{3}$ conjuntos não vazios, se tivermos $C_{2}\subseteq C_{3}$ , então a união $C_{1} \cup C_{2} \cup C_{3}$ é igual a $C_{1} \cup C_{3}$ . O mesmo pode ocorrer com a soma de subespaços. Por exemplo, se um dos subespaços contiver outro, a parcela da soma do que está contido não “contribui” para o subespaço resultante, e isto faria com que a condição de escrita única falhasse, pois para qualquer vetor resultante da soma poderíamos somar a parcela do subespaço contido na do que o contém e substituir sua parcela pelo vetor nulo, originando duas escritas diferentes de um mesmo vetor, então a soma entre aqueles subespaços não seria uma soma direta. Agora, quando os conjuntos $C_{1},C_{2}$ e $C_{3}$ são disjuntos, então temos a garantia de que a união entre eles não pode ser reduzida, este seria o análogo a uma soma direta entre subespaços, que é como o “menor” subespaço que os contém.

O próximo resultado nos dá uma maneira mais prática de verificar se um subespaço é resultante da soma direta de outros.

Proof 6

$(\implies)$ Se vale $V=U_{1}\oplus\dots \oplus U_{n}$ , pela Definition 4 temos que cada elemento em $V$ pode ser escrito como uma soma de elementos de $U_{1},\dots,U_{n}$ , ou seja, $V \subseteq U_{1}+\dots+U_{n}$ , logo $V= U_{1}+\dots+U_{n}$ (pela Proposition 5 já temos a inclusão contrária). Além disso, a escrita também é única, logo, só deve valer a escrita trivial do elemento nulo, isto é:

0 = 0+\dots+0

(7)

$(\impliedby)$ Se valem as condições 1 e 2, pela condição 1 temos que cada elemento em $V$ pode ser escrito como uma soma de elementos de $U_{1},\dots,U_{n}$ . Então, seja $v\in V$ de forma que $v=u_{1}+\dots+u_{n}=u_{1}'+\dots+u_{n}'$ , com $u_{i},u_{i}' \in U_{i}$ , temos

0=v-v=(u_{1}-u_{1}')+\dots+(u_{n}-u_{n}')

(8)

Mas, pela condição 2, o elemento nulo só pode ser escrito como uma soma de elementos de $U_{1},\dots,U_{n}$ da maneira trivial, logo $u_{i}-u_{i}'=0\implies u_{i}=u_{i}'$ . Ou seja, todo $v\in V$ pode ser escrito como uma soma de elementos de $U_{1},\dots,U_{n}$ e de maneira única. Portanto, pela Definition 4, $V=U_{1}\oplus\dots \oplus U_{n}$ .

Agora, vejamos como a “disjunção” entre dois subespaços (que é na verdade $U\cap W=\{ 0 \}$ , pois todo subespaço contém o vetor nulo) garante que sua soma é direta.

Proof 7

$(\implies)$ Seja $V=U\oplus W$ . Utilizando Proposition 6, temos $V=U + W$ . Suponha que $v \in U\cap W$ . Então, $0=v-v$ e como $v \in U,W$ e a representação do vetor nulo como soma de elementos desses subespaços é somente a trivial (também por Proposition 6), então $v=0$ . Logo, $U\cap W=\{ 0 \}$ .

$(\impliedby)$ Se vale $V=U+W$ , por Proposition 6 resta mostrar que a escrita dos elementos é única. Suponha que $v=u+w=u'+w'$ , com $u,u'\in U$ e $w,w'\in W$ . Logo, $0=v-v=(u-u')+(v-v')$ , então $(u-u')=(v'-v)$ . Mas $(u-u')\in U$ e $(v'-v)\in W$ , ou seja, $(u-u')\in U\cap W$ e $(v'-v)\in U\cap W$ . Logo, como também vale $U\cap W=\{ 0 \}$ ,

\begin{cases} u-u'=0 \\ v'-v=0 \end{cases}

(9)

Concluindo que $u=u'$ e $v=v'$ , ou seja, a escrita é única. Donde obtemos que $V=U\oplus W$ .

Veja que, diferentemente da Proposition 6, a Proposition 7 diz respeito apenas a dois subespaços e não a uma quantidade finita arbitrária. O exemplo a seguir mostra que a propriedade de disjunção não garante soma direta para mais de dois subespaços.

Example 6

Considere os seguintes subespaços de $\mathbb{R}^{3}$ :

$S_{1}=\{ (x,y,0)/x,y\in \mathbb{R} \}$
$S_{2}=\{ (0,0,z)/z\in \mathbb{R} \}$
$S_{3}=\{ (0,w,w)/w\in \mathbb{R} \}$

Primeiramente, observe que $\mathbb{R}^{3}=S_{1}+S_{2}+S_{3}$ . Além disso, $S_{1}\cap S_{2}=\{ 0 \}$ , $S_{1}\cap S_{3}=\{ 0 \}$ e $S_{2}\cap S_{3}=\{ 0 \}$ . No entanto, a soma entre esses subespaços não é direta, uma vez que a escrita de qualquer vetor do $\mathbb{R}^{3}$ não será única: Seja ${} (v_{1},v_{2},v_{3}) \in \mathbb{R}^{3} {}$ , observe que $(v_{1},v_{2},v_{3})=(v_{1},v_{2},0)+(0,0,v_{3})+(0,0,0)$ . Por outro lado, existem infinitas escolhas de $y,w \in \mathbb{R}$ , ambas não nulas, de modo que $y+w=a_{2}$ e, a partir do $w$ escolhido, também podemos determinar $z\in \mathbb{R}$ de modo que $z+w=a_{3}$ . Um exemplo numérico:

\begin{align} &(1,1,1)= (1,3,0)+(0,0,3)+(0,-2,-2) \\ &(1,1,1)=(1,1,0)+(0,0,1)+(0,0,0) \end{align}

(10)

Logo, a soma entre esses subespaços, igual ao $\mathbb{R}^{3}$ , não é direta.

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Propriedades de espaços vetoriais de dimensão finita