1. Espaços Vetoriais - Álgebra Linear

Conceitos iniciais¶

O conceito de Espaço Vetorial é o alicerce onde se constrói a Álgebra Linear. Começamos com sua definição.

Definição 1.1. (Espaço Vetorial)

Seja $V$ um conjunto não vazio que estejam definidas duas operações:

A adição em $V$ , uma função que associa um elemento $u+v \in V$ para cada par $u,v \in V$ ;
A multiplicação por escalar, um função que associa um elemento $\alpha v \in V$ para cada escalar real $\alpha \in \mathbb{R}$ e elemento $v \in V$ .

$V$ irá constituir um Espaço Vetorial se as seguintes propriedades são válidas:

Comutatividade: $u+v=v+u$ para todo $u,v \in V$ ;
Associatividade: $(u+v)+w=u+ (v+w)$ e $(\alpha\beta)v=\alpha(\beta v)$ para todo $u,v,w \in V$ e $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$ ;
Elemento neutro da adição: Existe um elemento $0 \in V$ tal que $v+0=v$ para todo $v \in V$ ;
Inverso aditivo: Para todo $v \in V$ , existe $w \in V$ tal que $v+w=0$ ;
Identidade multiplicativa: Para todo $v \in V$ , tem-se $1v=v$ ;
Distributividade: $\alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v$ e $(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v$ para todo $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$ e $u,v \in V$ .

Os elementos de $V$ são chamados de vetores.

Essas 6 propriedades são chamadas de axiomas do Espaço Vetorial (são comuns variações equivalentes desses axiomas).

Em particular, esta é a definição de um Espaço Vetorial Real, uma vez que a multiplicação por escalar está definida sobre o conjunto $\mathbb{R}$ dos números reais. A teoria da Álgebra Linear abrange também o conjunto dos números complexos (na verdade, qualquer estrutura algébrica que constitua um corpo), no entanto, lidaremos aqui apenas com os espaços vetoriais definidos sobre $\mathbb{R}$ , mas tenha em mente que grande parte dos resultados podem ser estendidos para os números complexos, com as devidas adaptações.

Observe como os axiomas dependem das operações de adição e multiplicação por escalar. Nos principais espaços vetoriais que iremos lidar, essas operações são definidas de maneiras distintas, no entanto, serão bastante similares na prática. É importante destacar que, a priori, essas são as únicas operações definidas para vetores. Logo, se $u$ e $v$ são ambos vetores, a multiplicação $uv$ não está definida. As operações e propriedades usuais dos números reais mantêm-se normalmente para os escalares (note que os axiomas 2 e 6 utilizam o produto e adição de números reais, respectivamente).

Vejamos o principal exemplo de espaço vetorial.

Exemplo 1.2

As n-uplas ordenadas com entradas reais, representadas por $(a_{1},a_{2},\dots,a_{n})$ com $a_{1},a_{2},\dots,a_{n} \in \mathbb{R}$ , compõem o conjunto denotado por $\mathbb{R}^{n}$ . A adição e o produto escalar são definidos como se espera:

\begin{align} & (a_{1},\dots,a_{n})+(b_{1},\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n}) \\ & \alpha(a_{1},\dots,a_{n})=(\alpha a_{1},\dots,\alpha a_{n}),\; \alpha \in \mathbb{R} \end{align}

(1)

Com estas operações, $\mathbb{R}^{n}$ constitui um espaço vetorial. Verifique que os axiomas do espaço vetorial são satisfeitos.

O terceiro axioma em Definição 1.1. (Espaço Vetorial) diz respeito ao elemento neutro da adição em um espaço vetorial. Tal elemento é denominado vetor nulo e denotado por 0 (apesar de poder causar confusão com o escalar real 0, em geral o contexto deixa claro qual elemento se trata. Por exemplo, se $v$ é um vetor, entao em $v + 0$ temos o vetor nulo, enquanto que $0v$ temos o escalar nulo). O resultado a seguir constata a unicidade desse elemento, em quaquer espaço vetorial.

Demonstração 1.4

Suponha que 0 e $0'$ sejam ambos elementos neutros da adição. Logo, pelos axiomas 1 e 3,

0=0+0'=0'+0=0'

(2)

Similarmente, temos a unicidade do inverso aditivo, retratado no axioma 4.

Demonstração 1.5

Suponha que $w$ e $w'$ sejam ambos inversos aditivos de $v$ . Pelos axiomas,

w = w+0 = w + (v + w')=(w+v)+w'=0+w'=w'

(3)

Assim, denotamos o inverso aditivo de um vetor $v$ por $-v$ e escrevemos $v+(-v)$ como $v-v$ .

Observe que, como é natural de se esperar, temos $0v=0$ , pois $0v=(0+0)v=0v+0v$ , de onde obtemos $0=0v$ ao adicionarmos $-0v$ em ambos os lados. A partir disso, também temos $-v=(-1)v$ , pois $0=0v=(1-1)v=v+(-1)v$ e aplicamos a unicidade do inverso aditivo.

Agora, voltamos nossa atenção para subconjuntos de espaços vetoriais que também constituem espaços vetoriais.

O fato de $U$ ser um subconjunto de um espaço vetorial $V$ faz com que ele já herde grande parte dos axiomas que definem um espaço vetorial (a saber: associatividade, comutatividade, distributividade e identidade multiplicativa). Assim, para manter a conformidade com a Definição 1.1. (Espaço Vetorial) é suficiente verificar apenas estas 3 condições. A terceira condição, em particular, não só nos garante que a operação de mult. por escalar é fechada no conjunto $U$ , mas também nos dá o axioma do inverso aditivo, pois já verificamos que $-v=(-1)v$ , logo, se $U$ é fechado na multiplicação temos $-v \in U$ para todo $v \in U$ .

Note que a condição 1 impede que um conjunto vazio seja um subespaço. O menor subespaço possível será aquele contendo somente o vetor nulo: $\{ 0 \}$ . E, com exceção desse, todo os outros subespaços terão infinitos elementos (consequência do subespaço ser fechado na adição e multiplicação).

Para o $\mathbb{R}^{n}$ , é comum que subespaços sejam interpretados geometricamente. No caso do $\mathbb{R}^{3}$ , por exemplo, todo os seus subespaços próprios (que não sejam ele mesmo) e não nulos formam retas ou planos.

União e interseção de subespaços¶

Demonstração 1.9

Claramente, $U\cap W \subseteq V$ . Além disso, $0 \in U\cap W$ , pois $U$ e $W$ são ambos subespaços.

Observe que se $u,w \in U\cap W$ , então $u,w \in U$ e $u,w \in W$ . Em particular, uma vez que subespaços são fechados na soma, $u+w \in U$ e $u+w\in W$ , logo $u+w \in U\cap W$ .

Similarmente para o produto escalar, se $\alpha \in \mathbb{R}$ e $u \in U \cap W$ , teremos $\alpha u \in U$ e $\alpha u \in W$ , logo $\alpha u \in U\cap W$ .

Com estas condições concluímos que $U\cap W$ é um subespaço vetorial de $V$ .

A união de subespaços, no entanto, não se comporta da mesma maneira. Há casos em que a união não será um subespaço:

Exemplo 1.11

Considere os seguintes subespaços de $\mathbb{R}^{2}$ :

${} S_{1}=\{ (0,y): y \in \mathbb{R} \} {}$ ;
$S_{2}=\{ (x,0): x \in \mathbb{R} \}$ .

Inicialmente, note que $S_{1}\cap S_{2} = \{ 0 \}$ . Logo, seja $v \in S_{1} \cup S_{2}$ tal que $v \neq 0$ , $v$ só pode ser da forma $(0,y)$ ou $(x,0)$ , com $x$ e $y$ diferentes de zero. Assim, considere $v,w \in S_{1}\cup S_{2}$ , de forma que $v \in S_{1}$ e $w \in S_{2}$ e ambos diferentes do vetor nulo. Observe que $v+w=(x,y)$ , para $x,y \in \mathbb{R}-\{ 0 \}$ , o que claramente não é um elemento de $S_{1}$ ou de $S_{2}$ , portanto não pertence a união.

Assim, $S_{1}\cup S_{2}$ não é fechado na soma e, logo, não é um subespaço vetorial.

O próximo resultado elucida a condição necessária (e suficiente) para que a união entre subespaços mantenha-se um subespaço.

Demonstração 1.12

$(\implies)$ Seja $U\cup W$ um subespaço. Suponha, por contradição, que $U \not \subset W$ e também $W \not\subset U$ , isso implica que existem elementos $u \in U-W$ e $w \in W-U$ diferentes do vetor nulo. Pelo fato de que $U \cup W$ é um subespaço e $u,w \in U\cup W$ , temos $u+w \in U\cup W$ , mas isso significa que (pela definição de união entre conjuntos) $u+w \in U$ ou $u+w \in W$ , uma contradição à hipótese de que $v$ e $w$ não pertencem ao mesmo subespaço (por exemplo, se ${} u+w \in U {}$ , pelo fato de $U$ ser fechado na soma e multiplicação por escalar teríamos $u+w-u=w \in U$ ).

$(\impliedby)$ Suponha, sem perda de generalidade, que $U\subseteq W$ . Segue-se então que $U\cup W=W$ e já temos que $W$ é um subespaço vetorial.

Soma e soma direta de subespaços¶

Observe que a soma entre os subespaços resultou no próprio espaço o qual eles pertencem, que em particular é também um subespaço. O próximo resultado nos mostra que somas de subespaços sempre resultam em subespaços (mas não necessariamente no espaço vetorial inteiro, as condições para que isso ocorra serão discutidas futuramente).

Demonstração 1.15

Verificaremos que para dois subespaços $U$ e $W$ de $V$ , $U+W$ é um subespaço de $V$ . O caso geral para uma quantidade $n$ de subespaços verifica-se indutivamente a partir disso.

Observe que $U+W \subseteq V$ , logo, devemos verificar apenas as 3 condições em Definição 1.7 (Subespaço Vetorial):

Seja $\alpha \in \mathbb{R}$ e $v \in U+W$ . Então $v=u+w$ , para $u\in U$ e $w\in W$ , e $\alpha v=\alpha(u+w)=\alpha u+\alpha w$ . Mas $\alpha u\in U$ e $\alpha w \in W$ , logo $\alpha v \in U + W$ ;
Similarmente, sejam $v_{1},v_{2} \in U+W$ , com $v_{1}=u_{1}+w_{1}$ e $v_{2}= u_{2}+w_{2}$ , então $v_{1}+v_{2}=(u_{1}+u_{2})+(w_{1}+w_{2})$ . Como $u_{1}+u_{2} \in U$ e $w_{1}+w_{2} \in W$ , temos $v_{1}+v_{2} \in U+W$ ;
Por fim, evidentemente $0 \in U+W$ .

Logo, $U+W$ é um subespaço de $V$ .

Agora, definimos um tipo diferente de soma entre subespaços, que funciona como um caso especial da soma anterior.

O “modo único” significa que cada vetor $u_{i}$ é fixo, uma vez fixado $w$ . Logo, não existe um vetor $u_{k}' \neq u_{k}$ de modo que $w=u_{1}'+\dots+u_{k}'+\dots+u_{n}'$ (com $u_{i}'$ podendo ser igual ou não a $u_{i}$ , para $i \neq k$ ).

No caso do exemplo Exemplo 1.14, observe que além de $\mathbb{R}=S_{1}+S_{2}$ temos $\mathbb{R}=S_{1}\oplus S_{2}$ , pois cada subespaço influencia em apenas uma das duas coordenadas.

A grande diferença entre os dois tipos de soma fica evidente fazendo-se uma analogia à união de conjuntos. Sejam $C_{1},C_{2}$ e $C_{3}$ conjuntos não vazios, se tivermos $C_{2}\subseteq C_{3}$ , então a união $C_{1} \cup C_{2} \cup C_{3}$ é igual a $C_{1} \cup C_{3}$ . O mesmo pode ocorrer com a soma de subespaços. Por exemplo, se um dos subespaços contiver outro, a parcela da soma do que está contido não “contribui” para o subespaço resultante, e isto faria com que a condição de escrita única falhasse, pois para qualquer vetor resultante da soma poderíamos somar a parcela do subespaço contido na do que o contém e substituir sua parcela pelo vetor nulo, originando duas escritas diferentes de um mesmo vetor, então a soma entre aqueles subespaços não seria uma soma direta. Agora, quando os conjuntos $C_{1},C_{2}$ e $C_{3}$ são disjuntos, então temos a garantia de que a união entre eles não pode ser reduzida, este seria o análogo a uma soma direta entre subespaços, que é como o “menor” subespaço que os contém.

O próximo resultado nos dá uma maneira mais prática de verificar se um subespaço é resultante da soma direta de outros.

Demonstração 1.17

$(\implies)$ Se vale $V=U_{1}\oplus\dots \oplus U_{n}$ , pela Definição 1.16 (Soma direta) temos que cada elemento em $V$ pode ser escrito como uma soma de elementos de $U_{1},\dots,U_{n}$ , ou seja, $V \subseteq U_{1}+\dots+U_{n}$ , logo $V= U_{1}+\dots+U_{n}$ (pela Proposição 1.15 já temos a inclusão contrária). Além disso, a escrita também é única, logo, só deve valer a escrita trivial do elemento nulo, isto é:

0 = 0+\dots+0

(7)

$(\impliedby)$ Se valem as condições 1 e 2, pela condição 1 temos que cada elemento em $V$ pode ser escrito como uma soma de elementos de $U_{1},\dots,U_{n}$ . Então, seja $v\in V$ de forma que $v=u_{1}+\dots+u_{n}=u_{1}'+\dots+u_{n}'$ , com $u_{i},u_{i}' \in U_{i}$ , temos

0=v-v=(u_{1}-u_{1}')+\dots+(u_{n}-u_{n}')

(8)

Mas, pela condição 2, o elemento nulo só pode ser escrito como uma soma de elementos de $U_{1},\dots,U_{n}$ da maneira trivial, logo $u_{i}-u_{i}'=0\implies u_{i}=u_{i}'$ . Ou seja, todo $v\in V$ pode ser escrito como uma soma de elementos de $U_{1},\dots,U_{n}$ e de maneira única. Portanto, pela Definição 1.16 (Soma direta), $V=U_{1}\oplus\dots \oplus U_{n}$ .

Agora, vejamos como a “disjunção” entre dois subespaços (que é na verdade $U\cap W=\{ 0 \}$ , pois todo subespaço contém o vetor nulo) garante que sua soma é direta.

Demonstração 1.18

$(\implies)$ Seja $V=U\oplus W$ . Utilizando Proposição 1.17, temos $V=U + W$ . Suponha que $v \in U\cap W$ . Então, $0=v-v$ e como $v \in U,W$ e a representação do vetor nulo como soma de elementos desses subespaços é somente a trivial (também por Proposição 1.17), então $v=0$ . Logo, $U\cap W=\{ 0 \}$ .

$(\impliedby)$ Se vale $V=U+W$ , por Proposição 1.17 resta mostrar que a escrita dos elementos é única. Suponha que $v=u+w=u'+w'$ , com $u,u'\in U$ e $w,w'\in W$ . Logo, $0=v-v=(u-u')+(v-v')$ , então $(u-u')=(v'-v)$ . Mas $(u-u')\in U$ e $(v'-v)\in W$ , ou seja, $(u-u')\in U\cap W$ e $(v'-v)\in U\cap W$ . Logo, como também vale $U\cap W=\{ 0 \}$ ,

\begin{cases} u-u'=0 \\ v'-v=0 \end{cases}

(9)

Concluindo que $u=u'$ e $v=v'$ , ou seja, a escrita é única. Donde obtemos que $V=U\oplus W$ .

Veja que, diferentemente da Proposição 1.17, a Proposição 1.18 diz respeito apenas a dois subespaços e não a uma quantidade finita arbitrária. O exemplo a seguir mostra que a propriedade de disjunção não garante soma direta para mais de dois subespaços.

Exemplo 1.19

Considere os seguintes subespaços de $\mathbb{R}^{3}$ :

$S_{1}=\{ (x,y,0):x,y\in \mathbb{R} \}$
$S_{2}=\{ (0,0,z):z\in \mathbb{R} \}$
$S_{3}=\{ (0,w,w):w\in \mathbb{R} \}$

Primeiramente, observe que $\mathbb{R}^{3}=S_{1}+S_{2}+S_{3}$ . Além disso, $S_{1}\cap S_{2}=\{ 0 \}$ , $S_{1}\cap S_{3}=\{ 0 \}$ e $S_{2}\cap S_{3}=\{ 0 \}$ . No entanto, a soma entre esses subespaços não é direta, uma vez que a escrita de qualquer vetor do $\mathbb{R}^{3}$ não será única: Seja ${} (v_{1},v_{2},v_{3}) \in \mathbb{R}^{3} {}$ , observe que $(v_{1},v_{2},v_{3})=(v_{1},v_{2},0)+(0,0,v_{3})+(0,0,0)$ . Por outro lado, existem infinitas escolhas de $y,w \in \mathbb{R}$ , ambas não nulas, de modo que $y+w=a_{2}$ e, a partir do $w$ escolhido, também podemos determinar $z\in \mathbb{R}$ de modo que $z+w=a_{3}$ . Um exemplo numérico:

\begin{align} &(1,1,1)= (1,3,0)+(0,0,3)+(0,-2,-2) \\ &(1,1,1)=(1,1,0)+(0,0,1)+(0,0,0) \end{align}

(10)

Logo, a soma entre esses subespaços, igual ao $\mathbb{R}^{3}$ , não é direta.