Relação entre transformações lineares e matrizes

Notações utilizadas:

$c$ é a base canônica do espaço $\mathbb{R}^{n}$ em contexto.
$[T]^{\alpha}_{\beta}$ é a matriz associada a transformação linear $T:V\to W$ em relação a base $\alpha$ de $V$ e a base $\beta$ de $W$ . No caso da matriz de um operador em relação a uma mesma base, omitiremos o sobrescrito.
$\textbf{I}$ é a matriz identidade (dimensão compatível com o contexto em que é utilizada) e $[I]^{\alpha}_{\beta}$ representa a matriz mudança de base de $\alpha$ para $\beta$ .

Tendo estudado transformações lineares e as propriedades fundamentais de matrizes, veremos agora como estas estão intrinsecamente relacionadas, de maneira que toda matriz está associada a uma transformação linear (e vice-versa).

Princípios¶

Vimos que todo espaço vetorial possui bases que o geram, logo, quando discutimos uma transformação linear podemos pensar em relação a ela considerando bases específicas dos espaços envolvidos. Essa ideia é o cerne da relação entre transformações lineares e matrizes.

Definition 1 (Matriz de uma transformação linear)

Considere $T:V\to W$ uma transformação linear, onde o espaço vetorial $V$ possui dimensão $n$ e o espaço vetorial $W$ possui dimensão $m$ . Dadas bases ordenadas $\alpha=\{ v_{1},v_{2},\dots,v_{n} \}$ e $\beta=\{ w_{1},w_{2},\dots,w_{m} \}$ de $V$ e $W$ , respectivamente, definimos a matriz $[T]^{\alpha}_{\beta}$ , de dimensão $m \times n$ , como a matriz associada à $T$ em relação às bases $\alpha$ e $\beta$ . De forma que:

[T]^{\alpha}_{\beta}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2}n \\ \vdots \\ a_{m_{1}} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}

(1)

onde $a_{ij}$ é a $i$ -ésima coordenada de $Tv_{j}$ na base $\beta$ .

Assim, fixadas as bases dos espaços vetoriais envolvidos, toda transformação linear entre esses espaços está relacionada univocamente a uma matriz, o que decorre da unicidade das coordenadas em uma base ordenada (mas note que uma mesma transformação pode ter matrizes diferentes, mas de mesma dimensão, em relação a bases diferentes). Logo, conseguimos “encapsular” uma transformação linear em uma matriz, de modo que somente com suas entradas e conhecendo os espaços vetoriais e bases em contexto podemos determinar de qual transformação se trata. Isso é extremamente interessante e poderoso, principalmente do ponto de vista computacional (veremos adiante como isso nos permite determinar a imagem de um vetor utilizando a matriz associada à transformação), conseguimos resumir qualquer transformação linear em um conjunto de números.

Example 1

Qual a matriz associada à transformação linear $T:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}^{3}$ , nas bases canônicas, dada por $T(x,y)=(x+y,2x-y,y)$ ?

Devemos determinar as imagens dos vetores da base do espaço vetorial de saída, no caso, a base canônica de $\mathbb{R}^{2}$ . Depois, reescrevemos tais imagens na base ordenada do espaço vetorial de chegada, as coordenadas obtidas nos dão as entradas da matriz. No caso, como a base de chegada considerada também é a canônica, basta apenas calcular as imagens:

\begin{align} & T(1,0)=(1+0,2\cdot1-0,0)=(1,2,0) \\ & T(0,1)=(0+1,2\cdot 0-1,1)=(1,-1,1) \end{align}

(2)

Logo, sejam $c_{1}$ e $c_{2}$ as bases canônicas de $\mathbb{R}^{2}$ e $\mathbb{R}^{3}$ , respectivamente,

[T]^{c_{1}}_{c_{2}}=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

(3)

Mas e o oposto? Dada uma matriz qualquer, como interpretá-la como uma transformação linear? Com base na Definition 1, devemos determinar quais os espaços vetoriais e as respectivas bases envolvidas. Uma escolha natural seria considerarmos, para uma matriz de dimensão ${} m\times n {}$ , os espaços vetoriais $\mathbb{R}^{m}$ e $\mathbb{R}^{n}$ , com suas respectivas bases canônicas. Dessa forma, a matriz estará associada univocamente a uma transformação linear $T:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{m}$ em relação às bases canônicas. Essa escolha facilita muitos aspectos (pois são espaços vetoriais e bases simples de lidarmos) e sabemos do isomorfismo que existe entre qualquer espaço vetorial de dimensão $n$ e o $\mathbb{R}^{n}$ , então a transformação associada é “equivalente” para quaisquer espaços de dimensões compatíveis com a matriz.

Portanto, temos a seguinte definição:

Example 2

Qual transformação linear $T$ está associada à matriz $A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{bmatrix}$ ?

Pela Definition 2 sabemos que:

$T:\mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}^{2}$ , pois $A$ tem dimensão $2\times 3$ ;
$Te_{1}=T(1,0,0)=(1,4)$ ;
$Te_{2}=T(0,1,0)=(2,5)$ ;
$Te_{3}=T(0,0,1)=(3,6)$ .

Portanto, seja $(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}$ ,

\begin{align} T(x,y,z)&=xTe_{1}+yTe_{2}+zTe_{3} \\ & =x(1,4)+y(2,5)+z(3,6) \\ & =(x,4x)+(2y,5y)+(3z,6z) \\ & =(x+2y+3z,4x+5y+6z) \end{align}

(4)

Determinando assim $T$ .

Releitura das propriedades matriciais¶

Agora, com a ótica de transformações lineares, podemos interpretar as propriedades de matrizes.

Essa terceira propriedade esclarece o porquê do produto matricial ser definido da forma que é. Isso pode ser verificado algebricamente, considerando transformações (cuja composição é válida) e bases fixas, mas é melhor visualizado pensando nas colunas das matrizes como vetores (na verdade, como coordenadas de um vetor em uma base). Vetores na forma matricial (isto é, matrizes $n \times 1$ ) são chamados de vetores coluna.

Perceba como essa interpretação também oferece uma nova maneira de determinar a transformação linear associada à uma matriz $A$ de dimensão ${} m\times n {}$ , basta fazermos o produto $A\cdot \begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}$ .

Além disso, como é esperado, $\mathbf{I}=[I]_{\alpha}$ . Introduziremos agora uma importante ferramenta relacionada com a matriz do operador identidade:

O nome vem simplesmente do fato que tal matriz permite determinar as coordenadas na base $\beta$ de qualquer vetor em $V$ , a partir das suas coordenadas em $\alpha$ . Ou seja, digamos que $(v)_{\alpha}=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$ , então as coordenadas de $(v)_{\beta}$ são dadas pelas entradas do vetor coluna resultante do produto $[I]^{\alpha}_{\beta}\cdot \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}$ .

E claro que podemos também fazer o produto matricial entre uma matriz compatível $A$ e ${} [I]^{\alpha}_{\beta} {}$ , de maneira que se $A=[T]^{\beta}_{\gamma}$ , a matriz resultante é $[T]^{\alpha}_{\gamma}$ . Logo, podemos reescrever a matriz de qualquer transformação em bases diferentes, esse fato cumpre um papel importante no Teorema Espectral para matrizes.

Por fim, a transposta de uma matriz também possui um contexto de transformação linear, que é discutido no tópico de Adjunta.