Teorema Espectral

Máximos e mínimos locais de funções de duas variáveis¶

A modelagem matemática de fenômenos físicos (em áreas como Mecânica Clássica, Termodinâmica, Óptica, etc.), de processos da Engenharia e Economia - entre outras atividades de grande relevância para o empreendimento humano - naturalmente recai sobre o estudo de funções de múltiplas variáveis, uma vez que estes lidam com intricados fatores que interagem entre si e dependem uns dos outros. Em particular, funções de duas variáveis aparecem com bastante frequência nos exemplos citados.

Considere, por exemplo, a modelagem do lucro de uma empresa dado em função do preço dos seus dois principais produtos, $L(p_{1},p_{2})$. Encontrar os valores de $p_{1}$ e $p_{2}$ que maximizariam o lucro é um problema clássico do Cálculo Diferencial e Integral, que envolve determinar os chamados pontos de máximo e mínimo locais da função $L(p_{1},p_{2})$.

Munidos das ferramentas do Cálculo, o Teorema Espectral nos permite uma análise do problema sob a ótica da Álgebra Linear, o que por muitas vezes oferece uma solução mais prática.

A ideia central é analisarmos as propriedades da matriz Hessiana, uma das principais ferramentas do Cálculo Vetorial, que é constituída das derivadas parciais de segunda ordem da função, que naturalmente nos fornecem informações sobre os pontos de máximo e mínimo, chamados pontos críticos.

Para o caso em que as derivadas de segunda ordem são contínuas, tem-se que $\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}$. Logo, a matriz Hessiana é simétrica e sabemos, pelo Teorema Espectral, que possuirá autovalores reais. Em suma, isto nos permite classificar os pontos críticos com base nos seus autovalores.

Similarmente à estratégia usual do Cálculo, inicialmente devemos encontrar pontos que são candidatos a máximos, mínimos ou pontos de sela. Tais pontos satisfazem o seguinte sistema:

onde $\nabla f(x,y)$ é o gradiente de $f$, outro elemento protagonista do Cálculo Vetorial, que basicamente consiste do vetor cujas coordenadas são as derivadas de $f$ em cada variável respectiva.

A partir daí, calculamos a matriz Hessiana para os pontos encontrados e encontramos seus autovalores. A natureza do ponto crítico é então determinada pelos sinais dos seus autovalores, $\lambda_{1}$ e $\lambda_{2}$:

• Mínimo local: $\lambda_{1}>0$ e $\lambda_{2}>0$ (a Hessiana é definida positiva);
• Máximo local: $\lambda_{1}<0$ e $\lambda_{2}<0$ (a Hessiana é definida negativa);
• Ponto de sela: $\lambda_{1}\cdot \lambda_{2}<0$ (a Hessiana é indefinida);

Para o caso em que algum autovalor for zero, o teste é inconclusivo. É necessária análise de derivadas de ordem superior.

Assim, a forma diagonal da matriz Hessiana nos revela a curvatura da função nas direções dos autovetores. Por exemplo, se $\lambda_{1}>0$ e $\lambda_{2}>0$ a função tem concavidade para cima em todas as direções.

Tomemos um exemplo prático: Considere $f(x,y)=x^{2}+2y^{2}$. Utilizando (2) encontramos o ponto crítico $(0,0)$, cuja Hessiana é dada por $H(0,0)=\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix}$, já diagonal. Encontramos que seus autovalores são $\lambda_{1}=2>0$ e $\lambda_{2}=4>0$, resultando na conclusão que $(0,0)$ é um mínimo local.

Trazendo para um cenário análogo ao exemplo da função de lucro discutida no início, se tal $f$ corresponde a um custo dependente dos parâmetros $(x,y)$, sabemos que tomando-os $(0,0)$ estaríamos minimizando o custo.